Coloração plana incorreta com componente monocromático de tamanho

Vamos relaxar um pouco a coloração, ou seja, permitimos que um pequeno número de vértices adjacentes seja atribuído à mesma cor. Um componente monocromático é definido como um componente conectado no subgráfico induzido pelo conjunto de vértices que recebem a mesma cor, e a questão é solicitar o número mínimo de cores necessárias para colorir um gráfico, de modo que o maior componente monocromático tenha não mais do que o tamanho . $\lambda$$C$
A coloração tradicional pode ser considerada como -coloring nesta configuração. Portanto, encontrar o número mínimo de é NP-difícil para o gráfico planar em geral. $[\lambda,1]$$\lambda$

Minha pergunta é: que tal -coloring de gráficos planares , ou mais geralmente, -coloring para ?$[\lambda,2]$$[\lambda,C]$$C \geq 2$

Isto pode ser visto como um duplo problema do que é estudado por Edwards e Farr , onde é fixo, e um é convidado a encontrar o tamanho mínimo de .$\lambda$$C$

A correspondência perfeita de duas cores nos gráficos planares cúbicos é muito semelhante ao seu problema, que foi declarado completo por NP por Schaefer em seu famoso artigo sobre o teorema da dicotomia, embora ele não tenha demonstrado os gráficos planares cúbicos. O problema pede a existência de duas cores de gráficos planares cúbicos, de modo que todo vértice tenha exatamente um vizinho da mesma cor que ele.

EDIT: Coloração defeituosa é a versão de decisão do seu problema. Um gráfico é (k, d) colorido, se é possível colorir os vértices com k cores, de modo que nenhum vértice fique adjacente a mais de d vértices da mesma cor. A coloração do problema de decisão (2,1) com defeitos, equivalente ao seu problema de otimização, mostrou-se NP-completa, mesmo para gráficos planares .