Sistema de prova de soma de quadrados

Recentemente, vi vários artigos sobre o arxiv que se referem a um sistema de prova chamado soma de quadrados.

Alguém pode explicar o que é uma prova de soma de quadrados e por que essas provas são importantes / interessantes?

Como eles estão relacionados a outros sistemas de provas algébricas? Eles são algum tipo de dualidade com Lassere?

— Anônimo
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Há uma visão geral em arxiv.org/abs/1211.1958 . O sistema SOS básico é definido na página 3 (procure Grigoriev e Vorobjov).

— Emil Jeřábek apoia Monica

@Emil, parece que o artigo contém as respostas para as perguntas da publicação (explica o sistema, seu histórico e sua relevância para trabalhos recentes), por que não postar seu comentário como resposta?

— Kaveh

@ EmilJeřábek Aceitarei seu comentário se você postar uma versão expandida dele como resposta.

— Anónimo

OK, eu fiz isso, embora eu preferisse que fosse respondido por alguém que realmente entendesse esses sistemas.

— Emil Jeřábek apoia Monica

Respostas:

O sistema básico de prova de soma de quadrados, introduzido sob o nome de refutações de Positivstellensatz por Grigoriev e Vorobjov , é um sistema de prova "estático" para mostrar que um conjunto de equações e inequações polinomiais onde

S = {f_{1} = 0 0, ..., f_{k} = 0 0, h_{1} \geq 0 0, ..., h_{m} \geq 0 0},

$S=\{f_1=0,\dots,f_k=0,h_1\ge0,\dots,h_m\ge0\},$

, não tem solução comum em

: uma refutação de

é dada por polinômios

f_{1}, \dots, f_{k}, h_{1}, \dots, h_{m} \in R [x_{1}, \dots, x_{n}]

$f_1,\dots,f_k,h_1,\dots,h_m\in\mathbb R[x_1,\dots,x_n]$

R^{n}

$\mathbb R^n$

S

$S$

tal que

g_{i}

$g_i$

e_{I, j}

$e_{I,j}$

(Pode-se trabalhar com qualquer campo fechado real no lugar de

) A Positivstellensatz de Stengle garante que

tenha uma refutação se e somente se não tiver solução. A principal medida de complexidade aqui é ograude refutação, que é o máximo do total de graus dos polinômios que aparecem sob os sinais de soma

\begin{matrix} (*) & - 1 = \sum_{Eu = 1}^{k} g_{Eu} f_{Eu} + \sum_{Eu \subseteq {1, ..., m}} \sum_{j} e_{Eu, j}^{2} \prod_{Eu \in Eu} h_{Eu} . \end{matrix}

$\tag{$*$}-1=\sum_{i=1}^kg_if_i+\sum_{I\subseteq\{1,\dots,m\}}\sum_je_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i.$

R

$\mathbb R$

S

$S$

, ou seja,

(*)

$(*)$

g_{i} f_{i}

$g_if_i$

e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i}

$e_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i$

Como de costume em sistemas de prova algébrica, também se pode considerar um sistema de refutação de fórmulas booleanas insatisfatórias incluindo em os axiomas para cada variável e uma tradução de por desigualdades polinomiais. $\phi$ $S$ $x_i^2-x_i$ $x_i$ $\phi$

Mais informações sobre a história e o desenvolvimento dos sistemas SOS podem ser encontradas em http://arxiv.org/abs/1211.1958 .

— Emil Jeřábek apoia Monica
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Existe um livro padrão?

Também existe algum uso da teoria dos modelos aqui?

Laserre tem um livro recente sobre os aspectos de otimização. "Uma introdução à otimização polinomial e semi-algébrica" publicada pela Cambridge University Press.

— Chandra Chekuri

$p(\vec{x}) \geq 0$ $p(\vec{x})$ $\vec{x}$

As regras de inferência são:

$\over x^2-x \geq 0$
$\over x-x^2 \geq 0$
$\over p(\vec{x})^2\geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})x \geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})(1-x) \geq 0$
$p_1(\vec{x}) \geq 0, \cdots, p_m(\vec{x}) \geq 0 \over \sum_{i=1}^m c_ip_i(\vec{x}) \geq 0$ $c_1, \cdots, c_m \in \mathbb{R}^+$

$p(\vec{x})^2\geq 0$

Existem boas conexões com programação semidefinida e algoritmos de aproximação.

Para saber mais, confira a recente palestra de Albert Atserias no workshop BIRS: Fundamentos Teóricos da Resolução Aplicada de SAT :

Albert Atserias , Mini-Tutorial em Sistemas de Prova Semi-Algébrica ( slides ), 2014

— Kaveh
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Essa formulação é igual à de Emil? O seu é "dinâmico" e, portanto, permite provas do tipo DAG, onde o de Emil é "estático" e, portanto, parece corresponder a uma versão semelhante à sua. Portanto, aparentemente eles são diferentes em relação à complexidade (por exemplo, grau, tamanho em termos de número de monômios e número de linhas). Isso é verdade?

— Iddo Tzameret 17/02/2014

@ Idd, acho que você está certo. Uma medida de complexidade pode não ser a mesma. Albert explica muito brevemente em sua palestra a correspondência para a principal e interessante medida de complexidade, se bem me lembro, mas se alguém estiver interessado em outras medidas, é necessário ter mais cuidado na formulação.

— 21414 Kaveh

@Kaveh Eu fiz duas perguntas relacionadas, se você puder ajudar, (1) cstheory.stackexchange.com/questions/30930/… (2) cstheory.stackexchange.com/questions/30932/…

— user6818