Como é definida a dualidade de tipos?

Nos tipos recursivos de Wadler de graça! [1], que demonstraram dois tipos, e , e afirmaram que são duplos . Em particular, ele apontou que o tipo não é $\forall X . (F(X) \rightarrow X) \rightarrow X$ $\exists X . (X \rightarrow F(X)) \times X$ $\exists X . X \rightarrow (X \rightarrow F(X))$ o dual do anterior. Parece que a dualidade em questão aqui é diferente da dualidade de De Morgan na lógica. Eu me pergunto como a dualidade de tipos é definida, especificamente para os três tipos mencionados, por que o segundo é duplo do primeiro e o terceiro não. Obrigado.

[1] http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/free-rectypes.txt

lo.logic type-theory

— dia
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Não vou ajudar muito aqui, mas parece teórico da categoria.

— Anthony

Respostas:

Nesse contexto, a dualidade refere-se a pegar o ponto menos fixo em um caso e o maior ponto fixo no outro. Devemos tentar entender em que sentido e são os e "grandes" soluções "menos" da equação recursiva . $L = \forall X . (F(X) \to X) \to X$ $G = \exists X . (X \to F(X)) \times X$ $F(X) \cong X$

Primeiro de tudo, e são, de facto pontos fixos (sob certas hipóteses técnicas que limitam a natureza da ), porque a comparação mapeia e dadas por $L$ $G$ $F$ $v : F(L) \to L$ $w : G \to F(G)$ e

v x X g = g (F (λ h : L . h X g) x)

$v \, x \, X \, g = g \, (F (\lambda h : L \,.\, h \,X\, g)\, x)$

são isomorfismos. Observe que usamos o fato de que

é um functor, ou seja, é monótono, quando o aplicamos a funções.

w (X, (f, x)) = F (λ y : X . (X, (f, y))) (f x)

$w (X, (f, x)) = F (\lambda y : X \,.\, (X, (f, y))) \, (f x)$

F

$F$

Suponhamos que é qualquer solução para os com um isomorfismo mediar . Então temos os mapas canônicos definidos por $Y$ $F(Y) \cong Y$ $u : F(Y) \to Y$

α : L \to Y and β : Y \to G

$\alpha : L \to Y \text{ and } \beta : Y\to G$

α f = f Y u

$\alpha \, f = f\, Y\, u$

Portanto,

émenosporque podemos mapear a partir dele para qualquer outra solução, e

émaiorporque podemos mapear a partir de qualquer outra solução para ele. Poderíamos tornar tudo isso mais preciso falando sobre álgebras iniciais e barras de carvão finais, mas quero que minha resposta seja curta e agradável, e Cody explicou as álgebras de qualquer maneira.

β y = (Y, (u^{- 1}, y)) .

$\beta \, y = (Y, (u^{-1}, y)).$

L

$L$

G

$G$

$F(X) = 1 + A \times X$ $A$ $A$

— Andrej Bauer
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L

$L$

G

$G$

F

$F$

F (L) \to L

$F(L) \to L$

G \to F (G)

$G \to F(G)$

v

$v$

w

$w$

w

$w$

w^{'} (X, (f, x)) = F (λ y : X . (X, (f, x))) (f x)

$w' (X, (f, x)) = F (\lambda y : X \,.\, (X, (f, x))) \, (f x)$

Suponho que você tenha provado que isso w'é um isomorfismo, mas isso lhe dá uma coalgebra válida? (Acho que sim, mas posso estar errado ...) Não parece que a praça comutaria.

— CA McCann

Em sua nota: homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/… , Wadler fornece a primeira versão. No entanto, ele escreve um pouco diferente: w (X, (f, x)) = F (desdobrar X k) (fx). Isso faz com que a estrutura da coalgebra apareça com mais clareza e quase imediatamente fornece a comutação dos morfismos de corecursão apropriados. Como diz o camcann, acho que sua outra versão não faz com que esses quadrados comutem.

— Cody

$I$ $\cal C$ $F:{\cal C}\rightarrow{\cal C}$ $F$

$A$ $\cal C$ $α : F (A) \to A$ $\alpha:F(A)\rightarrow A$
como setas: quadrados

$I$ $F$ $I$

$in:F(I) \rightarrow I$
$F$ $(A,\alpha)$ $fold: I\rightarrow A$

$I=\forall X.(F(X)\rightarrow X)\rightarrow X$ $fold$

f o l d = λ i : I . i A α : I \to A

$fold=\lambda i:I. i\ A\ \alpha : I\rightarrow A$

i n

$in$

F

$F$ , que pode ser visto como um requisito de positividade.

$F$ $F$

$Z$ $\cal C$ $ω : Z \to F (Z)$ $\omega: Z\rightarrow F(Z)$
$F$ $\alpha$ $\beta$

$T$

$out:T\rightarrow F(T)$
$F$ $Z$ $cofold: Z\rightarrow T$

$T=\exists X.(X\rightarrow F(X))\times X$

c o f o l d = λ z : Z . (Z, ω, z) : Z \to T

$cofold = \lambda z:Z.(Z,\omega,z) : Z\rightarrow T$

T = \exists X . X \to (X \to F (X))

$T=\exists X.X\rightarrow (X\rightarrow F(X))$

— cody
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$\lambda$ $\pi$

Quando você traduz (decompõe) tipos em cálculo de processo, a dualidade se torna simples: a entrada é dupla na saída e vice-versa . Não há (muito) mais na dualidade.

$\pi$ $\alpha = (Bool, Int)^{\uparrow}$ $\alpha$ $\alpha$ $x$ $\overline{x}\langle false,7\rangle$ $\overline{\alpha}$ $(v, w)$ $v$ $w$ $\overline{\alpha}$ $(bool,int)^{\downarrow}$ $\overline{\alpha}$ $x$ $c(v,w).0$

$\beta = (int, (int)^{\uparrow})^{\downarrow}$ $(v, w)$ $v$ $w$ $\overline{\beta} =(int, (int)^{\downarrow})^{\uparrow}$ $\alpha$ $\overline{\alpha}$ $P$ $\alpha$ $x$ $Q$ $\overline{\alpha}$ $x$ $P$ $Q$ $\beta$ $\overline{\beta}$

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$ $(v, w)$ $v$ $X$ $w$ $X$ $x$

x (v w) . \bar{w} v

$x(vw).\overline{w}v$

\forall X . (X, (X)^{↑})^{↓}

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$

O que significa a quantificação universal no nível do processo? Há uma interpretação direta: se os dados são digitados por uma variável de tipo, eles não podem ser usados como o assunto de uma saída, apenas um objeto. Portanto, não podemos inspecionar esses dados, podemos apenas transmiti-los ou esquecê-los.

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$ $\exists X.(X,(X)^{\downarrow})^{\uparrow}$

A teoria disso foi elaborada com mais detalhes em [1, 2, 3] e em outras mais difíceis de acessar o trabalho, e relacionada muito precisamente à lógica linear polarizada e à sua noção de dualidade em 4 .

$\lambda$ $\lambda$ $\pi$ $\lambda$ $\pi$ $\lambda$

$\pi$

4 K. Honda et al., Correspondência exata entre um cálculo pi digitado e redes de prova polarizadas .

5 R. Milner, Funções como Processos .

— Martin Berger
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re: Sua opinião sobre o número de habitantes do tipo ∀X. (X, (X) ↑) ↓. Existe um análogo de "teoremas livres" para o cálculo pi? Se sim, onde isso é discutido?

— Dominic Mulligan

Olá @DominicMulligan, sim, existem "teoremas livres" e investigamos isso um pouco em [1, 2]. Eu acho que muito mais poderia ser dito nessa direção.

— Martin Berger

@MartinBerger: Você pode usar a parametridade para descobrir qual é a noção "certa" de equivalência de processo para o cálculo pi digitado? Por exemplo, no Sistema F, a relação lógica paramétrica corresponde à equivalência contextual. Por analogia, eu esperaria que qualquer noção de equivalência de processo que corresponda à relação lógica paramétrica para o cálculo pi seja especialmente interessante.

— Neel Krishnaswami

π

$\pi$

Caracterizações baseadas em bisimulação são úteis para o raciocínio prático, porque não exigem fechamento em todos os contextos.

— Martin Berger