A relação dos Teoremas da Incompletude de Gödel com a Tese de Church-Turing

Esta pode ser uma pergunta ingênua, mas aqui vai. (Editar - não está recebendo votos positivos, mas ninguém ofereceu uma resposta; talvez a pergunta seja mais difícil, obscura ou pouco clara do que eu pensava?)

O primeiro teorema da incompletude de Gödel pode ser comprovado como um corolário da indecidibilidade do problema da parada (por exemplo, Sipser Ch. 6; publicação de blog de Scott Aaronson ).

Pelo que entendi (confirmado pelos comentários), essa prova não depende da tese de Church-Turing. Derivamos uma contradição ao mostrar que, em um sistema formal completo e consistente, uma Máquina de Turing poderia resolver o problema da parada. (Se, por outro lado, tivéssemos acabado de mostrar que algum procedimento eficaz poderia resolver o problema da parada, também precisaríamos assumir a tese de Church-Turing para obter uma contradição.)

Portanto, podemos dizer que esse resultado fornece um pouco de apoio intuitivo à tese de Church-Turing, porque mostra que uma limitação das Máquinas de Turing implica uma limitação universal. (A publicação no blog de Aaronson certamente apóia essa visão.)

Minha pergunta é se podemos obter algo mais concreto ao contrário: que implicações formais os teoremas de Gödel têm para a tese de Church-Turing? Por exemplo, parece intuitivamente possível que o teorema da Primeira Incompletude implique que nenhum procedimento eficaz possa determinar se uma Máquina de Turing arbitrária é interrompida; pode-se argumentar que a existência de tal procedimento implica na capacidade de construir uma teoria consistente completa $\omega$. Isso está correto? Existem resultados nesse sentido?

(Estou perguntando por curiosidade - eu não estudo lógica - por isso peço desculpas se isso é bem conhecido ou não é de nível de pesquisa. Nesse caso, considere isso uma solicitação de referência! Obrigado por comentários ou respostas !)

Pergunta que parece relacionada, mas não é: Teorema da Igreja e Teoremas da Incompletude de Gödel

Edição: Vou tentar tornar a pergunta mais clara! Primeiro - minha intuição ingênua é que a incompletude de Gödel deve implicar pelo menos algumas limitações sobre o que é ou não computável. Essas limitações seriam incondicionais, ou seja , deveriam se aplicar a todos os modelos de computação, e não apenas às máquinas de Turing.

Então, eu estou me perguntando se esse é o caso (deve haver alguma implicação, certo?). Supondo que seja, estou mais curioso sobre como isso afeta a tese de Church-Turing - a noção de que qualquer coisa efetivamente calculável pode ser calculada por uma máquina de Turing. Por exemplo, parece possível que a existência de um procedimento eficaz para decidir se uma Máquina de Turing pára, contradiz o Primeiro Teorema da Incompletude. Esse resultado demonstraria que nenhum método possível de computação pode ser "muito" mais poderoso que as máquinas de Turing; mas esse resultado é verdadeiro? Eu tenho algumas perguntas semelhantes nos comentários. Eu ficaria muito interessado em ouvir uma resposta para uma dessas perguntas, um ponteiro para uma resposta na literatura, uma explicação de por que todo o meu raciocínio está fora da base ou quaisquer outros comentários!

Aqui está uma resposta filosófica que pode entretê-lo.

Os teoremas da incompletude de Gödel são sobre o sistema formal da aritmética Peano. Como tal, eles não dizem nada sobre modelos de computação, pelo menos não sem alguma quantidade de interpretação.

A aritmética Peano mostra facilmente a existência de funções não computáveis. Por exemplo, sendo uma teoria clássica expressiva o suficiente para falar sobre máquinas de Turing, ela mostra o exemplo particular de meio excluído, que diz que toda máquina de Turing pára ou funciona para sempre. No entanto, do trabalho de Gödel surgiu uma noção importante de computabilidade, a saber, a de uma função recursiva (primitiva) . Portanto, não são os próprios teoremas que se conectam à computabilidade, mas o método de prova que os estabelece.

A essência dos teoremas da incompletude pode ser expressa de forma abstrata usando a lógica de provabilidade, que é um tipo de lógica modal. Isso fornece aos teoremas da incompletude uma ampla gama de aplicabilidade, muito além da aritmética e da computabilidade do Peano. Assim que certos princípios de ponto fixo são satisfeitos, a incompletude entra em ação. Esses princípios de ponto fixo são satisfeitos pela teoria tradicional da computabilidade, que, portanto, é vítima da incompletude, com o que quero dizer a existência de conjuntos de ce inseparáveis. Como as frases prováveis ​​e refutáveis ​​dos conjuntos aritméticos de forma aritmética Peano, os teoremas da incompletude de Gödel tradicionais podem ser vistos como um corolário dos fenômenos da incompletude na computabilidade. (Estou sendo filosoficamente vago e sua cabeça doerá se você tentar me entender como um matemático.)

Suponho que podemos assumir duas posições sobre como tudo isso se relaciona com a noção informal de efetividade ("coisas que realmente podem ser computadas"):

1. Pelo que sabemos, somos apenas um autômato finito bastante grande, capaz de contemplar super-heróis fictícios chamados "Máquinas de Turing" que são capazes de calcular com números ilimitados (suspiro!). Nesse caso, Gödel era apenas um ótimo contador de histórias. Como suas histórias se traduzem em efetividade é então uma questão de alguma aplicação (necessariamente imprecisa) da imaginação na realidade.

2. Como os fenômenos da incompletude surgem naturalmente em muitos contextos e certamente em todas as noções razoáveis ​​de computabilidade, concluímos que o mesmo deve ser o caso da efetividade. Por exemplo, suponha que possamos enviar máquinas de Turing para buracos negros para calcular as máquinas de Turing em tempo infinito de Joel Hamkin . Isso nos dá imenso poder computacional, no qual o oráculo que pára é um brinquedo do jardim de infância. Mas, ainda assim, o modelo satisfaz as condições básicas que nos permitem mostrar a existência de conjuntos inseríveis. E, portanto, mais uma vez, a computação não é onipotente e a incompletude é um fato da vida.

Gostaria de enfatizar o comentário de Neel , as principais ferramentas para a indecidibilidade da parada e os teoremas da incompletude de Godel são:

1. codificar conceitos sintáticos como provas, computação, etc. por números / strings e relações / funções sobre eles;
2. Teorema do ponto fixo de Godel.

A codificação de objetos e conceitos sintáticos pode parecer óbvia hoje que estamos acostumados a computadores digitais, mas é uma ideia engenhosa essencial para computadores e software universais. Tudo o que é necessário para provar a existência de um simulador universal está em seu artigo.

Godel também mostra que podemos representar esses conceitos sintáticos e, geralmente, relações / funções computáveis ​​da MT através de simples fórmulas aritméticas.

A prova de incompletude de Godel, em suma, é a seguinte:

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

A indecidibilidade do problema de parada para as MTs usa ingredientes semelhantes:

1. $Halt(x)$$x$
2. O ponto fixo de Kleene para encontrar um TM st aceita se aceitar.N ¬ H um l t ( ⟨ M ⟩ $N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

$Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

$T$$T$$T$

As provas são muito semelhantes e usam os mesmos ingredientes (embora para alguém que esteja mais familiarizado com as MTs, mas não muito com a lógica, a indecidibilidade de interromper o problema possa parecer mais simples: a instância específica do teorema do ponto fixo usado na prova de indecidibilidade pode parecer mais simples do que a instância específica do ponto fixo usado no teorema de Godel, embora sejam essencialmente os mesmos, mas as idéias essenciais estão apenas codificando objetos e conceitos sintáticos usando números / seqüências de caracteres e fórmulas / funções sobre eles e aplicando um teorema de ponto fixo).

$O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

ps:
Observe que os teoremas de Godel são publicados em 1931, enquanto a indecidibilidade de Turing é publicada em 1936. Na época da publicação do artigo de Godel, as TMs não estavam definidas e Godel estava usando outro modelo equivalente. IIRC, Godel não estava completamente satisfeito com seu resultado ao estabelecer o objetivo original do programa de Hilbert porque não estava convencido de que o modelo de computação que ele usou realmente capturava a noção intuitiva de computabilidade algorítmica; ele só ficou satisfeito após o argumento filosófico de Turing sobre a captura de TMs a noção intuitiva de computabilidade algorítmica. Acho que você pode ler mais sobre isso nas obras coletadas de Godel.