automorfismo em gadgets Cai-Furer-Immerman

No famoso exemplo de contador para isomorfismo de grafos através do método Weisfeiler-Lehman (WL), o seguinte dispositivo foi construído neste artigo por Cai, Furer e Immerman. Eles constroem um gráfico dado por$X_k = (V_k, E_k)$

$V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k =\{b_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \mbox{ and } \\ \quad M_k = \{ m_S \mid S \subseteq \{1,2,\ldots, k\},\ |S| \text{ is even} \}\\ E_k =\{(m_S,a_i) \mid i \in S\} \cup \{(m_S, b_i)\mid i \notin S\}$

Um dos lemas do papel (Lema 3.1 página 6) afirma que, se colorir os vértices e b i com a cor i então | A u t ( X k ) | = 2 k - 1 (cor tem de ser preservada pela automorphism) onde cada automorfismos corresponde a trocando um i e b i para cada i , em alguns subconjuntos S de { 1 , 2 , ... , k $a_i$$b_i$$i$$|Aut(X_k)| = 2^{k-1}$$a_i$$b_i$$i$$S$$\{1,2,\ldots, k\}$de cardinalidade uniforme. Eles dizem que a prova é imediata. Mas não vejo como, no caso de . Em X 2 ( a 1 , m { 1 , 2 } ) é uma aresta, mas se tivermos um automorfismo que troque a 1 , b 1 e a 2 , b 2, a aresta acima será transformada em ( b 1 , m { 1 , 2 }$k= 2$$X_2 \ (a_1, m_{\{1,2\}})$$a_1, b_1$$a_2, b_2$$(b_1, m_{\{1,2\}})$o que não é uma vantagem. Portanto, isso não deve ser um automorfismo.

Eu gostaria de entender qual é o meu mal-entendido.

Está faltando o conjunto vazio que está conectado a todos os b 's. Para se ter uma automorphism, você seleciona um subconjunto T ⊆ { 1 , . . . , K } de cardinalidade mesmo e troca então um i com b i para cada i ∈ T e, em seguida, ajusta os conjuntos no meio. No seu exemplo, o gráfico é ( a 1 , { 12 } ) , ( a 2 , { 12 } ) $\emptyset$$b$$T\subseteq \{1,...,k\}$$a_i$$b_i$$i\in T$

Ainda no seu exemplo, se você não precisa fazer nada e se T = { 1 , 2 } o automorfismo é dado trocando a 1 com b 1 , a 2 com b 2 e { 1 , 2 } com ∅ .$T=\emptyset$$T=\{1,2\}$$a_1$$b_1$$a_2$$b_2$$\{1,2\}$$\emptyset$

Agora, para o caso geral, precisamos mostrar que sempre há uma maneira de ajustar os vértices médios. Sabemos que tem até cardinalidade. Então vamos | T | = 2 r . Só precisamos mostrar que esse automorfismo existe se | T | = 2, caso contrário, podemos aplicar a composição de r automorfismos correspondentes à partição T em r subconjuntos de tamanho 2 . Assim, assuma T = { i , j } . Em seguida, a automorphism troca um i com$T$$|T|=2r$$|T|=2$$r$$T$$r$$2$$T=\{i,j\}$$a_i$ , a j com b j , cada vértice do meio S tal que S ∩ { i , j } = ∅ com o vértice do meio S ∪ { i , j } (isso pode ser visto no seu exemplo) e cada subconjunto S como que S ∩ { i , j } = { i } com o subconjunto tal que S ∩ { i , j $b_i$$a_j$$b_j$$S$$S\cap\{i,j\}=\emptyset$$S\cup \{i,j\}$$S$$S\cap \{i,j\}=\{i\}$ (Isso você pode ver para k = 3 ). Observe que esse processo de troca é um automorfismo, pois para um índice p ≠ { i , j } a relação de aresta entre a p , b p e esses vértices trocados é completamente preservada, e claramente a relação de aresta entre a i , a j , b i , b j está ajustado corretamente.$S\cap \{i,j\}= \{j\}$$k=3$$p\neq \{i,j\}$$a_p$$b_p$$a_i,a_j,b_i,b_j$

$a_i,b_i$$a_j,b_j$$a_i$$b_j$$\square$