Lema de regularidade para gráficos esparsos

O Lema de Regularidade de Szemeredi diz que todo gráfico denso pode ser aproximado como uma união de $O(1)$ muitos gráficos expansores bipartidos. Mais precisamente, existe uma partição da maioria dos vértices nos conjuntos $O(1)$ , de modo que a maioria dos pares de conjuntos forma expansores bipartidos (o número de conjuntos na partição e o parâmetro de expansão dependem do parâmetro de aproximação):

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma

Existem versões deste lema para gráficos esparsos "bem comportados", consulte, por exemplo:

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

O que me surpreende sobre essas formulações é que elas garantem apenas que a maioria dos pares de conjuntos na partição forma expansores bipartidos, e esses expansores bipartidos podem estar vazios. Portanto, em gráficos esparsos em geral, é bem possível que todas as arestas entre partes diferentes na partição dos vértices não pertençam a um expansor.

Gostaria de saber se existem formulações que dão a maior parte das arestas entre as peças de um expansor ou se não há esperança para essa formulação.

graph-theory co.combinatorics expanders

— Dana Moshkovitz
fonte

mas não parece intuitivo que o thm, que é para gráficos densos, se decompõe de alguma maneira em esparsos? observe as wikipedia Ref ligada a verdade não diz nada sobre gráficos expansor que sugere que poderia realmente ser uma interpretação / formulação mais tarde ...

— vzn

(1) O termo usual para os pares de conjuntos com bom comportamento é "pares regulares" (no par "pseudo-aleatório" da Wikipedia). Substituí-o por "expansores bipartidos" porque acho essa terminologia mais natural para mim. De qualquer forma, a intenção é que, se você escolher subconjuntos grandes o suficiente de ambos os lados do par, o número de arestas entre os subconjuntos seja proporcional ao número de arestas no par. (2) É claro que o que é verdade para gráficos densos pode deixar de ser verdadeiro para gráficos esparsos. Minha pergunta é exatamente sobre até que ponto as propriedades do caso denso continuam se mantendo no caso esparso.

— Dana Moshkovitz

Abaixo está uma resposta prolixo, mas tl; dr no caso geral, não há esperança para uma tal formulação, mas para muitas das classes particulares de grafos esparsos que têm regularidade lemas existe esta formulação.

$\varepsilon > 0$ $n$ $G = (V, E)$ $V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$ $p = O_{\varepsilon}(1)$

$|V_0| \le \varepsilon n$ $V_1, \dots, V_p$ $1$ $V_0$ $\varepsilon p^2$ $(V_i, V_j)$
$| d (S, T) - d (V_{i}, V_{j}) | < ε for all S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}$ $\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$ $d(\cdot, \cdot)$

$d i s c (V_{i}, V_{j}) := max_{S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}} | V_{i} | | V_{j} | | d (V_{i}, V_{j}) - d (S, T) |,$ $\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$ $\sum_{i, j = 0}^{p} d i s c (V_{i}, V_{j}) < ε n^{2} .$ $\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$

O "fraseado combinatório" (acabei de criar esses nomes, eles não são padrão) é o original e provavelmente mais famoso, enquanto o "fraseado analítico" é mais moderno e está relacionado aos limites de gráficos, etc. (acho que foi popularizado aqui) A meu ver, a analítica é a formalização correta do "gráfico aproximado pela união de expansores bipartidos", uma vez que fornece um controle sobre o "erro" total de tal aproximação e não existe um conjunto excepcional para ocultar a massa. Mas, neste ponto, isso é apenas cosmético, porque é um lema fácil, mas importante, que essas duas frases sejam equivalentes. Para passar do Combinatorial para o Analítico, a união justa vinculou a contribuição à discrepância das partes irregulares e do conjunto excepcional. Para passar do Analítico para o Combinatório, mova qualquer parte que contribua com muita discrepância para o conjunto excepcional e aplique Desigualdade de Markov para controlar sua massa.

Agora, para escassa regularidade. O objectivo da regularidade escasso é substituir o nas respectivas desigualdades com , em que é a fracção de todos os possíveis arestas apresentar em . Criticamente, com essa mudança, os dois fraseados não são mais equivalentes. Em vez disso, o fraseado analítico é mais forte: ainda implica Combinatorial exatamente como antes, mas Combinatorial geralmente não implica Analítico, porque (como antecipado no OP) é possível ocultar potencialmente muita densidade no conjunto excepcional ou entre os não regulares pares de peças. De fato, essa separação é formal: os gráficos de limite inferior para o SRL denso (digamos, este $\varepsilon$ $\varepsilon d(G)$ $d(G)$ $G$ ) implicam que o fraseado analítico geralmente não se estende a gráficos esparsos, mas o artigo de Scott vinculado no OP mostra que o fraseado combinatório realmente se estende a todos os gráficos esparsos sem condições.

A pesquisa vinculada no OP fala principalmente de um SRL para gráficos esparsos "regulares regulares", o que significa aproximadamente que o gráfico não possui cortes mais densos que a média por mais de um fator constante. Para esses gráficos em particular, as frases combinatória e analítica são equivalentes, porque não pode haver muita massa extra escondida nas partes excepcionais, de modo que sua contribuição para a discrepância pode ser limitada pela união, como no caso denso. Portanto, esses gráficos têm uma interpretação "aproximada pela união de expansores bipartidos".

Por fim, devo mencionar que existem muitas outras hipóteses na literatura que também implicam equivalência entre essas frases. Por exemplo, Regularidade superior (definida aqui ) é mais geral que a Regularidade superior e ainda é suficiente para implicar equivalência. No entanto, para esta classe de gráficos e outras, apenas conheço os lemas de regularidade fracos associados . $L_p$

— GMB
fonte

Além disso, peço desculpas pela necromancia do segmento - isso só aconteceu com a minha revisão atual acesa, e pensei em compartilhar o que encontrei.

— GMB