Problemas intermediários -complete?

O problema de partição é fracamente NP-completo, pois possui algoritmo de tempo polinomial (pseudo-polinomial) se os números inteiros de entrada estiverem delimitados por algum polinômio. No entanto, 3-Partition é um problema fortemente completo de NP, mesmo que números inteiros de entrada sejam limitados por um polinômio.

Supondo, , podemos provar que problemas intermediários completos de NP devem existir? Se a resposta for sim, existe um problema candidato "natural"? $\mathsf{P \ne NP}$

Aqui, o problema intermediário NP-completo é um problema que não possui um algoritmo de tempo pseudo-polinomial nem NP-completo no sentido forte.

Eu acho que existe uma hierarquia infinita de problemas intermediários completos de NP entre a completude fraca e a completude forte.

Edição 6 de março : Como mencionado nos comentários, uma maneira alternativa de fazer a pergunta é:

Supondo, , podemos provar a existência de problemas de NP-completo que não possuem algoritmo de tempo polinomial nem NP-completo quando as entradas numéricas são apresentadas como unárias? Se a resposta for sim, existe um problema candidato "natural"? $\mathsf{P \ne NP}$

EDIT2 6 de março : A direção inversa da implicação é verdadeira. A existência de tais "intermediários" problemas -Complete implica uma vez que se então unárias problemas -Complete estão em . $NP$ $\mathsf{P \ne NP}$ $\mathsf{ P=NP}$ $NP$ $P$

cc.complexity-theory np-hardness partition-problem

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

@MarzioDeBiasi Existe outra definição de completude NP forte (pode ser menos popular) que define um problema numérico como sendo NP complete, mesmo que todos os números inteiros de entrada sejam representados em notação unária.

— Mohammad Al-Turkistany 01/03

@ vzn este é um comentário ridículo! 1) thm do ladner não se refere a np problemas difíceis que não estão completos; 2) enquanto Mohammad é uma espécie de terminologia de sobrecarga, ele define sua classe de problemas claramente (NPC, não fortemente NPC e nenhum algoritmo de tempo de pseudopólio) e é diferente do NPC.

— Sasho Nikolov 02/02

@ MohammadAl-Turkistany: ok obrigado, talvez eu sugira que você o chame de completude NP unário, como em Garey e Johnson "Fortes" Resultados de Completude NP: Motivação, Exemplos e Implicações . Então, você está procurando problemas intermediários entre o NPC unário e o NPC pseudopolinomial. Eu ainda estou tentando entender, no entanto, em seu artigo, G&J diz (sobre o NPC unário): "... Não é difícil ver que isso corresponde à nossa noção de forte NP-completude ...".

— Marzio De Biasi 02/03

@MarzioDeBiasi Eu acho que a idéia é que podemos (->) obter um número binário de polinômio de tamanho na entrada, convertê-lo em unário no polytime e executar o algoritmo unário, (<-) dada uma entrada unária de comprimento poli no restante da entrada, leia a coisa toda e converta-a em binário e execute o algoritmo binário.

— usul

Como qualquer problema que possua um algoritmo de tempo polinomial, se um dos parâmetros de entrada for corrigido, está no FPT, você parece estar essencialmente perguntando se há problemas mais difíceis que o FPT, mas não o W [1] -hard. Tanto quanto sei, o teorema de Ladner pode ser estendido a esse cenário; pode estar no livro didático Flum / Grohe.

— András Salamon

Esta é uma resposta parcial que fornece apenas a um candidato um intermediário de intermediário . $NP$

$k$ Problema nos subconjuntos de soma igual: dado um multiset de inteiros positivos , existem subconjuntos não vazios tal que ? $n$ $A = \{a_1,...,a_n\}$ $k$ $S_1,...,S_k ⊆ \{a_1,...,a_n\}$ $sum(S_1) = ... = sum(S_k)$

O problema é fracamente completo em quando e, portanto, possui um algoritmo de tempo pseudo-polinomial para qualquer número inteiro constante fixo . No entanto, torna-se fortemente completo quando o número de subconjuntos de soma igual . $NP$ $k= O(1)$ $k > 2$ $NP$ $k= \Omega(n)$

Se e , o problema -Equal Sum Subsets é um problema candidato intermediário- intermediário (conforme descrito na pergunta). Esse problema não é conhecido por ter um algoritmo de tempo pseudo-polinomial, nem provado ser completo no sentido forte. $k= \omega(1)$ $k= O(\log n)$ $k$ $NP$ $NP$

Referência:

CIELIEBAK, EIDENBENZ, PAGOURTZIS e SCHLUDE, SOBRE A COMPLEXIDADE DAS VARIAÇÕES DE IGUALDADE DE SUBJETIVOS IGUAIS, Nordic Journal of Computing 14 (2008), 151–172

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

Você já viu este cstheory.stackexchange.com/a/7427/15637 ?

— Thomas Kalinowski

Sim. Essa resposta fornece sem dúvida um problema artificial.

— Mohammad Al-Turkistany