Uma fórmula 3-CNF que requer largura de resolução

Recorde-se que a largura de uma resolução refutation de uma fórmula CNF é o número máximo de literais em qualquer cláusula que ocorre em . Para cada , existem fórmulas insatisfatórias no 3-CNF st. Cada refutação de resolução de requer largura pelo menos . $R$ $F$ $R$ $w$ $F$ $F$ $w$

Preciso de um exemplo concreto de uma fórmula insatisfatória no 3-CNF (tão pequena e simples quanto possível) que não tenha refutação de resolução da largura 4.

— Jan Johannsen
fonte

Você precisa exatamente da largura 5 ou pelo menos da largura 5? No último caso, acho que poucas cláusulas aleatórias em um punhado de variáveis serão suficientes. Não é muito agradável e não muito pequeno, no entanto.

— MassimoLauria

acho que a pesquisa empírica / computador relativamente direta descobriria isso ou descartaria isso. Também acho que há uma teoria inexplorada mais geral / interessante à espreita aqui. veja também em provas de resolução, todos os DAGs são possíveis? , procurando reabrir votos se você concorda =) pergunta relacionada: para fórmulas

-SAT, que DAGs de resolução de dimensão (s) são possíveis?

m \times n

$m \times n$

— vzn

Jan, acho que Jacob deve ser capaz de responder facilmente. A propósito, você gostaria de generalizar um pouco a pergunta e perguntar sobre um método para criar 3-CNFs de determinada largura de resolução?

— Kaveh

Massimo, preciso de um exemplo concreto que eu possa escrever e explicar em um quadro negro ou algo assim. Portanto, cláusulas aleatórias não servem.

— Jan Johannsen

Agora estou no fuso horário errado para poder pensar corretamente, mas talvez uma fórmula de Tseitin sobre um gráfico realmente pequeno (onde você pode verificar a expansão manualmente) funcionaria? Mas você realmente precisa de um 3-CNF, não é? Para um 4-CNF, talvez eu brinque com uma grade retangular de dimensões adequadas e veja o que acontece. Apenas alguns pensamentos muito meia-boca ...

— Jakob Nordstrom

O exemplo a seguir vem do artigo que fornece uma caracterização combinatória da largura da resolução por Atserias e Dalmau ( Journal , ECCC , cópia do autor ).

O teorema 2 do artigo afirma que, dada a fórmula CNF , refutações de resolução de largura no máximo para são equivalentes a estratégias vencedoras para Spoiler no jogo de pedras existenciais . Recorde-se que o jogo é jogado seixo existencial entre dois jogadores competem, chamados spoiler e duplicador, e as posições de jogo são atribuições parciais de tamanho de domínio no máximo a variáveis de . No jogo de pedras , a partir da atribuição vazia, Spoiler deseja falsificar uma cláusula de $F$ $k$ $F$ $(k+1)$ $k+1$ $F$ $(k+1)$ $F$ enquanto se lembra de no máximo valores booleanos por vez, e o Duplicator quer impedir que o Spoiler o faça. $k+1$

O exemplo é baseado (na negação) no princípio do buraco de pombo.

$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$ $j \in \{1, \dotsc, n \}$ $p_{i,j}$ $i$ $j$ $i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$ $j \in \{0, \dotsc, n \}$ $y_{i,j}$ $3$ ${EP}_i$ $i$
${E P}_{Eu} \equiv \neg y_{Eu, 0 0} \land ⋀_{j = 1}^{n} (y_{Eu, j - 1} \lor p_{Eu, j} \lor \neg y_{Eu, j}) \land y_{Eu, n} .$ ${EP}_i \equiv \neg y_{i,0} \wedge \bigwedge_{j=1}^n (y_{i,j-1} \vee p_{i,j} \vee \neg y_{i,j} ) \wedge y_{i,n}.$ $3$ ${EPHP}_n^{n+1}$ ${EP}_i$ $H_k^{i,j} \equiv \neg p_{i,k} \vee \neg p_{j,k}$ $i,j \in \{1, \dotsc, n+1 \}, i \ne j$ $k \in \{1, \dotsc, n \}$

$n$ ${EPHP}_n^{n+1}$ ${EPHP}_n^{n+1}$ $n-1$

O artigo tem outro exemplo no Lema 9, baseado no princípio da ordem linear densa.

$\Omega(n^{(k-3)/12})$ $k+1$

— siuman
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{E P H P}_{5}^{6}

$\mathrm{EPHP}^6_5$