Algoritmos de aproximação para corte mínimo direcionado com restrições de cardinalidade

Gostaríamos de saber se existem resultados de aproximação conhecidos para a cardinalidade com restrição de - cut nos gráficos direcionados. Não conseguimos encontrar nenhum resultado na literatura. $s$ $t$

O problema é definido da seguinte maneira:

Instância: Um gráfico direcionado , uma função de custo , dois vértices e um número inteiro . $G=(V,E)$ $w : E \to \mathbb{R_0^+}$ $s,t \in V$ $k$

Solução: Um - cut, ou seja, uma partição de em dois conjuntos modo que , e o número de arestas que cruzam o corte são no máximo , ie . $s$ $t$ $V$ $V_1, V_2$ $s \in V_1$ $t \in V_2$ $k$ $|\{ (u,v) \in E: u \in V_1, v \in V_2 \}| \le k$

Medida (para minimizar): O custo do corte:

\sum_{(u, v) \in E : u \in V_{1}, v \in V_{2}} w (u, v)

$\sum_{ (u,v) \in E : u \in V_1, v \in V_2 } w(u,v)$

Em " Problemas de cardinalidade restrita e multicritério (multi) corte ", os autores provam que esse problema é fortemente NP-Difícil, mesmo para gráficos não direcionados.

Estamos interessados principalmente em algoritmos de aproximação para gráficos direcionados, mas os resultados da aproximação para o caso não direcionado também podem ser úteis.

Obrigado por qualquer insight.

— Steven
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Desculpe, não é uma resposta, na verdade, quero perguntar como transferir a aproximação de dois critérios para a aproximação de mono-critérios? por favor me perdoe.

— Jianhao Ma

Podemos obter uma aproximação dois critérios da seguinte maneira (ou mais geralmente aproximação de dois critérios). $(2,2)$ $(1+\varepsilon, 1 + 1/\varepsilon)$

Podemos assumir que sabemos o custo da solução ideal. Denotar que por . Seja $OPT$ Considere a solução ideal. Então

w^{'} (u, v) = \frac{w (u, v)}{O P T} + \frac{1}{k} .

$w'(u,v) = \frac{w(u,v)}{OPT} + \frac{1}{k}.$

(V_{1}, V_{2})

$(V_1, V_2)$

\sum_{(u, v) \in E (V_{1}, V_{2})} w^{'} (u, v) = \sum_{(u, v) \in E (V_{1}, V_{2})} (\frac{w (u, v)}{O P T} + \frac{1}{k}) = 1 + \frac{| E (V_{1}, V_{2}) |}{k} \leq 2.

$\sum_{(u,v) \in E(V_1, V_2)} w'(u,v) = \sum_{(u,v) \in E(V_1, V_2)} \left(\frac{w(u,v)}{OPT} + \frac{1}{k}\right) = 1 + \frac{|E(V_1,V_2)|}{k} \leq 2.$

$s$ $t$ $(V_1', V_2')$ $G$ $w'$ $2$ $(V_1', V_2')$

E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'}) = \sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} 1 \leq k \sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} w^{'} (u, v) \leq 2 k

$E(V_1', V_2') = \sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2') } 1 \leq k \sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2')} w'(u,v) \leq 2k$

\sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} w (u, v) \leq O P T \sum_{(u, v) \in E (V_{1}^{'}, V_{2}^{'})} w^{'} (u, v) \leq 2 O P T .

$\sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2')} w(u,v) \leq OPT \sum_{(u,v)\in E(V_1',V_2')} w'(u,v) \leq 2OPT.$

— Yury
fonte

Muito obrigado. Seu algoritmo é muito interessante e perspicaz. Infelizmente, parece que um algoritmo de aproximação bicritério não é suficiente para nós, pois precisamos que toda solução aproximada seja possível através da restrição de cardinalidade. Você sabe se algum resultado desse tipo é conhecido na literatura? Obrigado novamente!

— Steven

k

$k$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

V = s, t, x

$V={s,t,x}$

s

$s$

x

$x$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

x

$x$

t

$t$

k + 1

$k+1$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$

x_{e} = 2 / (k + 1)

$x_e=2/(k+1)$

s

$s$

x

$x$

x_{e} = 1 - 2 / (k + 1)

$x_e=1-2/(k+1)$

x

$x$

t

$t$

1

$1$

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$ .

— Yury 27/03

(k + 1) / 2

$(k+1)/2$