Provas em

Em uma palestra de Razborov, uma pequena e curiosa declaração é publicada.

Se FACTORING for difícil, o pequeno teorema de Fermat não é comprovável em .$S_{2}^{1}$

O que é e por que as provas atuais não estão em ? $S_{2}^{1}$$S_{2}^{1}$

$S^1_2$ é uma teoria da aritmética limitada, ou seja, uma teoria axiomática fraca obtida restringindo severamente o esquema de indução da aritmética Peano . É uma das teorias definidas por Sam Buss em sua tese , outras referências gerais incluem o Capítulo V da Metamatemática da Aritmética de Primeira Ordem de Hájek e Pudlák , “Aritmética limitada, lógica proposicional e teoria da complexidade de Krajíček”, Capítulo II do Manual de Buss. da teoria da prova , e os fundamentos lógicos da complexidade da prova de Cook e Nguyen .

Você pode pensar em como uma teoria aritmética que tem indução apenas para predicados de tempo polinomial. Em particular, a teoria não prova que a exponenciação é uma função total; a teoria pode provar existir apenas objetos de tamanho polinomial (falando livremente).$S^1_2$

Todas as provas conhecidas do pequeno teorema de Fermat utilizam objetos de tamanho exponencial ou contam com a contagem exata de tamanhos de conjuntos delimitados (o que provavelmente não é definível por uma fórmula delimitada, ou seja, na hierarquia polinomial, devido ao teorema de Toda).

O resultado em FLT, e fatoração deriva do artigo de Krajíček e Pudlák Algumas conseqüências de conjecturas criptográficas para e EF , e na minha opinião é bastante enganador. O que Krajíček e Pudlák provam é que, se fatorar (na verdade, o IIRC o declara para RSA em vez de fatorar, mas sabe-se que um argumento semelhante também funciona para fatorar) é difícil para o tempo polinomial aleatório, então não pode provar a afirmação de que cada número coprime a um número primo tem finito expoente modulo , ou seja, não existe tal que . S 1 2 S 1 2 a p p k a k ≡ $S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$a$$p$$p$$k$$a^k\equiv1\pmod p$

É verdade que isso é uma consequência do FLT, mas na verdade é uma afirmação muito, muito mais fraca que o FLT. Em particular, essa afirmação segue o princípio do buraco de pombo fraco, que é conhecido por ser provável em um subsistema de aritmética limitada (embora seja mais forte que ). Assim, o argumento de Krajíček e Pudlák mostra que não prova o princípio do pombo fraco, a menos que o fatoramento seja fácil e, como tal, forneça uma separação condicional de de outro nível da hierarquia aritmética limitada, digamos . S 1 2 S 1 2 T 2 $S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$T^2_2$

Por outro lado, o FLT real nem parece ser comprovável na aritmética completa , mas isso não está relacionado à criptografia. Você pode encontrar alguma discussão relevante em meu artigo Grupos abelianos e resíduos quadráticos em aritmética fraca .$S_2=T_2$