Aumentando a capacidade de maximizar o corte mínimo

Considere um gráfico com todas as arestas com capacidade unitária. Pode-se encontrar o corte mínimo no tempo polinomial.

Suponha que eu possa aumentar a capacidade de qualquer arestas até o infinito (equivalente a mesclar os nós em ambos os lados da aresta). Qual é a maneira ideal de selecionar um conjunto ideal de arestas (cuja capacidade será aumentada até o infinito) para maximizar o corte mínimo?$k$$k$

Teorema. O problema no post é difícil de NP.

Por "o problema no post", quero dizer, dado um gráfico e um número inteiro , para escolher arestas para aumentar as capacidades de modo a maximizar o corte mínimo no gráfico modificado.G = ( V , E ) k $G=(V,E)$$k$$k$

A idéia é reduzir do Max Cut. Aproximadamente, um determinado gráfico tem o tamanho máximo de corte se e somente se você pode aumentar as capacidades das arestas para que o gráfico resultante tenha o tamanho mínimo de corte . A idéia é que arestas são suficientes para forçar o gráfico resultante a ter apenas um corte de capacidade finita e esse pode ser o corte que você escolher.G = ( V , E ) s n - 2 s n - $G=(V,E)$$s$$n-2$$s$$n-2$

Essa ideia não funciona porque, para obter um determinado corte , é necessário conectar os subgráficos induzidos por eMas você pode contornar isso com um gadget apropriado.( C , V ∖ C ) C V ∖ $(C, V\setminus C)$$C$$V\setminus C$

Prova. Dado um gráfico conectado G = ( V , E ) , defina um corte conectado como sendo um corte ( C , V ∖ C ), de modo que os subgráficos induzidos por C e por V ∖ C sejam conectados. Defina Max Connected Cut como o problema de encontrar um corte conectado (em um determinado gráfico conectado) maximizando o número de arestas que cruzam o corte.$G=(V,E)$$(C,V\setminus C)$$C$$V\setminus C$

Mostramos que o Max Connected Cut se reduz ao problema no post. Em seguida, mostramos que o Max Cut não ponderado se reduz a Max Connected Cut.

Lema 1. O Max Connected Cut reduz o tempo de poli ao problema definido no post.

Prova. Dada uma instância Max-Connected-Cut G = ( V , E ) , deixe k = | V | - 2 . Para provar o lema, provamos o seguinte:$G=(V,E)$$k=|V|-2$

Reivindicação 1: Para qualquer s > 0 , há um corte conectado em de capacidade, pelo menos , IFF, é possível aumentar capacidades de aresta em para o infinito, para que o gráfico resultante tenha mín. capacidade de corte pelo menos .$s>0$( C , V ∖ C ) G s k G $(C,V\setminus C)$$G$$s$$k$$G$$s$

SOMENTE SE: Suponha que haja um corte conectado de capacidade pelo menos . Seja e subárvores que abranjam, respectivamente, e , e aumente a capacidade das arestas em e . (Observe que .) O único corte de capacidade finita restante no gráfico é então , com capacidade de pelo menos , portanto, o gráfico resultante tem capacidade de corte mínima de pelo menos .( C , V ∖ C ) s T 1 T 2 C V ∖ C T 1 T 2 | T 1 | + | T 2 | = | C | - 1 + | V ∖ C | - 1 = | V | - 2 = k ( C , V ∖ C ) s $(C,V\setminus C)$$s$$T_1$$T_2$$C$$V\setminus C$$T_1$$T_2$$|T_1|+|T_2|=|C|-1 + |V\setminus C|-1 = |V|-2 = k$$(C, V\setminus C)$$s$$s$

IF: Suponha que seja possível aumentar capacidades da aresta em para que o gráfico resultante tenha capacidade de corte mínima de pelo menos . Considere o subgráfico formado pelas arestas elevadas. Sem perda de generalidade, assuma que este subgráfico é acíclico. (Caso contrário, "desenrole" uma aresta de um ciclo de arestas elevadas e, em vez disso, levante uma aresta não levantada que une dois componentes conectados do subgráfico. Isso só aumenta o corte mínimo no gráfico resultante.) Ao escolher , o subgráfico de arestas elevadas possui dois componentes conectados, como e , portanto, o único corte de capacidade finita no gráfico resultante ék G s k k = n - 2 C V ∖ C ( C , V ∖ C ) $k$$G$$s$$k$$k=n-2$$C$$V\setminus C$$(C,V\setminus C)$. E esse corte tem capacidade pelo menos , como no gráfico original.$s$

Isso prova a afirmação (e o lema). (QED)

Para garantir a integridade, mostramos que o Max Connected Cut é NP-completo, por redução do Max Cut não ponderado.

Lema 2. O Max Cut não ponderado reduz o tempo de poli ao Max Connected Cut .

Prova. Para qualquer inteiro , definir gráfico para consistir em dois caminhos e , cada um de comprimento , com arestas de cada vértice de para cada vértice em . Deixamos como um exercício para o leitor verificar se o corte máximo em ( de um lado, do outro) tem tamanho , e nenhum outro corte tem tamanho maior que, digamos, .N ≥ 1 P ( N ) A B N A B P ( N ) A B N 2 N 2 - N /$N\ge 1$$P(N)$$A$$B$$N$$A$$B$$P(N)$$A$$B$$N^2$$N^2-N/100$

Aqui está a redução. Dada qualquer instância Max Cut não ponderada , construa um gráfico seguinte maneira. Seja. Seja . Adicione a o gráfico definido acima (com seus dois caminhos e ). A partir de cada vértice adicionar uma borda para um vértice de e outro bordo de um vértice em . Isso define a redução. Para finalizar, provamos que está correto:G = ( V , E ) G ′ = ( V ′ , E ′ ) n = | V | N = 100 ( n 2 + 2 n ) G P ( N ) A B v ∈ V A $G=(V,E)$$G'=(V',E')$$n=|V|$$N = 100(n^2 + 2n)$$G$$P(N)$$A$$B$$v\in V$$A$$B$

Reivindicação 2: para qualquer , há um corte em de capacidade pelo menos , IFF há um corte conectado em de tamanho pelo menos .s ≥ 0 ( C , V ∖ C ) G s G ′ s + N 2 + $s\ge 0$$(C,V\setminus C)$$G$$s$$G'$$s+N^2+n$

SOMENTE SE: Dado qualquer corte em de capacidade, pelo menos , considere o corte conectado em . Este corte conectado em cortes, pelo menos, bordas de para , além de extremidades de a , além de das bordas de para .( C , V ∖ C ) G s ( A ∪ C , B ∪ V ∖ C ) G ′ G ′ s C V ∖ C N 2 A B n 2 n V A ∪ $(C,V\setminus C)$$G$$s$$(A\cup C, B\cup V\setminus C)$$G'$$G'$$s$$C$$V\setminus C$$N^2$$A$$B$$n$$2n$$V$$A\cup B$

SE: Suponha que exista um corte conectado em de tamanho pelo menos . e estão em lados opostos do corte. (Caso contrário, como o segundo maior corte em corta no máximo arestas em , o número total de arestas cortadas é no máximo ) Let. denotar os vértices em no lado do corte com . Depois, há bordas do corte de a , e a partir de paraG ′ s + N 2 + n A B P ( N ) N 2 - N / 100 P ( N ) N 2 - N / 100 + | E | + 2 | V | ≤ N 2 - N / 100 + n 2 + 2 n = N 2 C V A N 2$G'$$s+N^2+n$$A$$B$$P(N)$$N^2-N/100$$P(N)$$N^2-N/100 + |E| + 2|V| \le N^2 - N/100 + n^2 + 2n = N^2$$C$$V$$A$$N^2$$A$$B$$n$$V$$A\cup B$ , de modo que deve ser, pelo menos, de para .$s$$C$$V\setminus C$

Isso prova a reivindicação e o Lema 2. (QED)

Nos lemas 1 e 2, como o Max Cut não ponderado é difícil para NP, o problema no post também é difícil para NP.