Por que a conjectura de classificação de log usa classificação acima dos reais?

Na complexidade da comunicação, a conjectura de log-rank afirma que

c c (M) = (\log r k (M))^{O (1)}

$cc(M) = (\log rk(M))^{O(1)}$

Onde é a complexidade da comunicação de e é a classificação de (como uma matriz) sobre os reais. $cc(M)$ $M(x,y)$ $rk(M)$ $M$

No entanto, quando você está apenas usando o método de classificação para diminuir o limite pode usar sobre qualquer campo que seja conveniente. Por que a conjectura de log-rank se restringe a rk sobre os reais? A conjectura é resolvida para sobre campos de característica diferente de zero? Caso contrário, é interessante ou há algo especial sobre over ? $cc(M)$ $rk$ $rk$ $rk$ $\mathbb{R}$

— Artem Kaznatcheev
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BTW Eu acredito que você deve restringir

M

$M$ para ser binário, caso contrário, você pode inventar contra-exemplos triviais.

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov O que você quer dizer com contra-exemplos triviais, se

M

$M$ não é

0 / 1

$0/1$ (eu acredito que você quer dizer mais de reais)?

— T ....

Por exemplo, o problema "adivinhe o meu número", ou seja, Alice tem um número em

e Bob precisa produzi-lo. É fácil ver que a complexidade da comunicação é o

mas a classificação da matriz é

{1, \dots, N}

$\{1, \ldots, N\}$

\log N

$\log N$

1

$1$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov Você pode definir adivinhar meu número com precisão? Não consigo visualizar a matriz característica. Alice tem

Bob tem

, então qual é a função

partir da qual

da classificação

é definida?

x

$x$

y

$y$

f (x, y)

$f(x,y)$

M

$M$

1

$1$

— T ....

A função é

onde

são vetores de

bits. Se a definição de complexidade da comunicação exigir que o valor de

seja determinado inteiramente pela transcrição do protocolo (esta é a definição em Kushilevitz-Nisan), então claramente a complexidade é

f (x, y) = x

$f(x, y) = x$

x

$x$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

n

$n$

— Sasho Nikolov

A conjectura falha em . Olhada , e . A complexidade da comunicação é , mas a classificação de sobre é , pela linearidade do produto interno. $\mathbb{F}_2$ $M(x, y) = \langle x, y \rangle \bmod 2$ $x, y \in \{0, 1\}^n$ $\Omega(n)$ $M$ $\mathbb{F}_2$ $n$

— Sasho Nikolov
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