Aproximando a classificação de sinais de uma matriz

A classificação de sinal de uma matriz A com entradas + 1, -1 é a menor classificação (acima dos reais) de uma matriz B que possui o mesmo padrão de sinal de A (ou seja, para todos os i , j ) Essa noção é importante na complexidade da comunicação e na teoria da aprendizagem.$A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

Minha pergunta é: Existem algoritmos conhecidos (tempo subexponencial) que aproximam a classificação de sinais de uma matriz dentro de um fator ?$o(n)$

(Estou ciente do limite inferior de Forster na classificação dos sinais em termos de norma espectral, mas isso não produz uma taxa de aproximação melhor que em geral.)$\Omega(n)$

Eu acredito que esta é uma questão em aberto.

Lee e Schraibman em "Um algoritmo de aproximação para classificação de aproximação" mostram que a classificação de aproximação pode ser aproximada a um fator constante por um algoritmo de tempo polinomial. Para fazer isso, eles relacionam uma quantidade de programação semidefinida à classificação de aproximação, onde α é um parâmetro finito maior que 1. Levar α até o limite do infinito gera a classificação de sinais, mas seu resultado não fornece nada nesse sentido. configuração.$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

$O(n/\log n)$$d$$S$

• $M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• $S$$d$

$M$$O(n^{1-1/d}/d)$$d = \Theta(\log n)$