Distância entre idiomas regulares

Eu quero definir uma noção de "proximidade" entre duas linguagens regulares de palavras finitas em (e / ou palavras infinitas em Σ w ). A idéia básica é que queremos que dois idiomas estejam próximos se eles não diferirem em muitas palavras. Também poderíamos usar a distância de edição de alguma maneira ... Não foi possível encontrar boas referências sobre esse problema.$\Sigma^*$$\Sigma^\omega$

Não chamo de distância, porque não exijo que todos os axiomas de distância sejam verdadeiros (embora não sejam ruins se forem).

$$d(L,K)= \limsup_{n\to\infty} \frac{|L_n\Delta K_n|}{|L_n\cup K_n|}$$ $L_n$$K_n$$L$$K$$\Sigma^n$$\Delta$

Essa "distância" é estudada? Existem referências sobre o assunto (possivelmente com opções alternativas para a função de distância)? Qualquer ajuda ou ponteiro seria apreciada, obrigado.

Como você talvez já saiba, uma métrica comum para palavras é a métrica Cantor, definida como:

$$d(l, k) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{if } l = k \\ 2^{-n} & \mbox{where } n = \min\{i\in\mathbb{N} \;|\;l_i \not=k_i\} \end{array} \right.$$

Grosso modo, se uma string é uma sequência de eventos, a distância entre duas strings é , onde é a primeira vez que diferem. Isso pode ser elevado para uma métrica em idiomas (não vazios) usando a métrica Hausdorff. (Se você permitir seqüências infinitas, também precisará garantir que os idiomas estejam completos em Cauchy.) $2^{-n}$$n$

Essa métrica aparece muito na verificação. A primeira referência a isso que eu conheço é Alpern e Schneider 1985, Definindo a Viver . (Desculpe pela ausência de um link, mas não consegui encontrar uma cópia online.)

Jean-Eric Pin escreveu um artigo de pesquisa, Profinite Methods in Automata Theory , no qual ele examina algumas métricas mais gerais e também faz algumas conexões com a dualidade de Stone.