Para a distribuição Laplace, se você usar o Bernoulli, poderá escrever
σ2=2Σiλ - 2 i
Eeu∑iXi=∏i11−u2/λ2i≤11−u2σ2/2,
que . Então o método clássico de Chernoff para dar
σ2=2∑iλ−2i
Pr[∑iXi≥tσ]≤1+1+2t2√2e1−1+2t2√≤{(et/2–√+1)e−2√te−t2/2+t4/8.
Note-se que estes limites segure por valores irrestritos de e . Os limites à direita mostram os dois regimes possíveis. Para valores pequenos de , obtemos concentração `normal ' , enquanto que para valores grandes de obtemos , que também é o CDF para uma única variável distribuída Laplace.λ i t e - t 2 / 2 t ≈ e - √tλite−t2/2t≈e−2√t
O limite permite que você interpole entre as duas situações, mas suspeito que, em quase todos os casos, um esteja firmemente no campo grande ou no pequeno . tt1−1+2t2−−−−−−√tt
Para a distribuição exponencial, as mesmas técnicas nos fornecem que . Portanto
Portanto, você ainda tem algo um pouco normal, mas com vez de como poderíamos esperar. Não sei se é possível obter um limite em termos de variação. Você pode tentar estudar , mas não parece fácil trabalhar com isso.Eeu∑iXi≤11−uμμ=∑i1/λi
Pr[(∑iXi)−μ≥tμ]≤(t+1)e−t≤e−t2/2+t3/3.
tμtσEeu(∑Xi−μ)2