Ordenação topológica positiva, leve 3


20

Suponha que temos uma matriz n por n. É possível reordenar suas linhas e colunas para obter uma matriz triangular superior?

Esta questão é motivada por este problema: Ordenação topológica positiva

O problema de decisão original é pelo menos tão difícil quanto este, então um resultado de completude do NP também resolveria isso.

Edit: Laszlo Vegh e Andras Frank chamaram minha atenção para um problema equivalente solicitado por Gunter Rote: http://lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph

Editar: A redução para o problema original é a seguinte. Suponha que o DAG tenha apenas dois níveis, que corresponderão às linhas e colunas da matriz. Além disso, temos um único nó com peso +1. Todos os outros no nível inferior têm peso -1 e no nível superior +1.


Como você reduz isso ao problema original? A propósito, esse problema parece interessante por si só.
Tsuyoshi Ito

Você está procurando uma permutação a ser aplicada às linhas e colunas ou duas permutações separadas? Estou supondo dois, já que com apenas um o problema parece equivalente ao tipo topológico.
Warren Schudy 01/10/10

Pensando nisso como um gráfico bipartido (como no link elte), eles dão a condição necessária para que não haja subgráficos feitos de cópias de K2, C4, C6, C8, etc. Outra condição necessária é que a sequência de graus de ambos parts é dominado por (1, 2, 3, ..., n) --- Eu acho que isso é mais forte do que a outra condição baseada em clique no link.
Daveagp 01/10/10

Respostas:


12

O problema acabou sendo NP-completo. Você pode ler mais em detalhes aqui e aqui . Pequeno resumo:

A redução é de um problema que Dasgupta, Jiang, Kannan, Li e Sweedyk demonstrou ser NP-completo: dado um gráfico bipartido G e um número inteiro k, decida se G tem um subgrafo induzido em 2k nós que podem ser estendidos para seja singularmente correspondível. Foi observado pelo Stéphane Vialette que isso reduz a versão correspondente bipartida exclusiva desse problema se adicionarmos nk nós isolados às duas classes.


Obrigado pelo link para EGRES. Eu realmente gosto dos problemas em aberto, especialmente os relacionados à correspondência (perfeita).
Mohammad Al-Turkistany

Quais são os outros sites de problemas abertos de qualidade (relacionados à complexidade computacional)?
Mohammad Al-Turkistany

@Turkistany, eu não conheço outros, acho que isso também é mais sobre pesquisa operacional / teoria de grafos.
Domotorp 22/11

3

Atenção: Esta é uma resposta parcial baseada em conjecturas e boatos! Enquanto o problema mais geral de David Eppstein é NP-completo, talvez este esteja em P.

(UMAB,E)|UMA|=|B|=n

  • não deve conter 2 combinações perfeitas,
  • (1,2,...,n)

Até agora, não consegui encontrar nenhum exemplo em que um gráfico atenda a essas condições, mas deixa de ser UPMX. Nesse caso, talvez eles sejam suficientes. Pode-se provar isso pelo seguinte algoritmo:

  1. se o gráfico tiver> 1 correspondência perfeita, retorne "não UPMX"
  2. se o gráfico falhar na condição de graduação, retorne "não UPMX"
  3. se o gráfico tiver = 1 correspondência perfeita, retorne "UPMX"
  4. caso contrário, talvez possamos mostrar que é UPMX. Talvez o seguinte algoritmo possa provar isso:
    • (n+12)-2
    • encontre uma nova aresta e cuja adição não crie uma correspondência perfeita e não viole a condição de grau; adicione e ao gráfico
  5. (n+12)-1

Você pode caracterizar quais novas arestas criariam uma correspondência perfeita usando o teorema de Hall, e não é difícil caracterizar quais novas arestas violariam o limite de grau. Infelizmente, mesmo que seja verdade que sempre existe uma aresta do tipo certo, não consegui provar.


Não é uma abordagem ruim, gostaria de saber se é verdade.
Domotorp 5/10

3

Este artigo, Obtendo uma matriz triangular por permutações independentes de coluna de linha Fertin, Rusu e Vialette, mostra que o problema é NP-completo para matrizes quadradas binárias.


É lamentável que eles também tenham provado o mesmo resultado independentemente de nós, acho que deveríamos ter nos comunicado melhor. De qualquer forma, eu vou enviá-los.
Domotorp 27/08/16

@domotorp O mesmo problema foi perguntado no MathOverflow e a melhor resposta foi que ele está no "NP-limbo". mathoverflow.net/questions/191963/...
Mohammad Al-Turkistany

-1

O problema é NP-completo, mas onde está o algoritmo para resolvê-lo? Eu tenho um algoritmo que funciona em muitos exemplos, mas não posso demonstrar que isso funcionará o tempo todo.


1
Você pode caracterizar uma classe interessante de gráficos em que seu algoritmo está correto?
RB
Ao utilizar nosso site, você reconhece que leu e compreendeu nossa Política de Cookies e nossa Política de Privacidade.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.