Algoritmos exatos de tempo exponencial para programas 0-1 com dados não negativos

Existem algoritmos conhecidos para o seguinte problema que superam o algoritmo ingênuo?

Entrada: matriz e vetores , em que todas as entradas de são números inteiros não negativos.b , c A , b , $A$$b,c$$A,b,c$

Saída: uma solução ideal para . máx { c T x : A x ≤ b , x ∈ { 0 , 1 } n$x^*$$\max \{ c^T x : Ax \le b, x \in \{ 0,1\}^n \}$

Esta pergunta é uma versão refinada da minha pergunta anterior Algoritmos de tempo exponencial exato para programação 0-1 .

se o número de coeficientes diferentes de zero em for linear em , existe um algoritmo que resolve esse problema em menos de tempo.n 2 $A$$n$$2^n$

Aqui está como isso funciona. Usamos a conexão padrão entre um problema de otimização e seu problema de decisão correspondente. Para testar se existe uma solução de em que e , que irá formar um problema de decisão: vamos contíguo a restrição para a matriz , e teste se existe qualquer tal que e . Em particular, formaremos uma nova matriz pegando e adicionando uma linha extra contendo , e formaremos pegandoA x ≤ b c T x ≥ α c T x ≥ α A x A x ≤ b - c T x ≤ - α A ′ A - c T b ′ b - α x ∈ { 0 , 1 } n A ′ x ≤ b ′ α 2 n A ′ n A $x$$Ax\le b$$c^T x \ge \alpha$$c^T x\ge \alpha$$A$$x$$Ax \le b$$-c^T x \le -\alpha$$A'$$A$$-c^T$$b'$$b$e ao lado de uma linha extra com . Obtemos um problema de decisão: existe tal que ? A resposta para esse problema de decisão nos diz se existe uma solução para o problema de otimização original de valor ou superior. Além disso, conforme explicado na resposta à sua pergunta anterior , esse problema de decisão pode ser resolvido em menos de , se o número de coeficientes diferentes de zero em for linear em (e, portanto, se o número de coeficientes zero em é linear em ). Agora podemos usar a pesquisa binária em$-\alpha$$x \in \{0,1\}^n$$A' x \le b'$$\alpha$$2^n$$A'$$n$$A$$n$2 $\alpha$para resolver seu problema de otimização em menos de tempo.$2^n$

Meus agradecimentos a AustinBuchanan e Stefan Schneider por ajudarem a depurar uma versão anterior desta resposta.

Se considerarmos o problema de minimização , a seguinte redução mostra que um algoritmo em execução no tempo O ( 2 δ n / 2 ) para δ < 1 seria refutar a SETH. Uma reformulação prova o mesmo resultado para o problema pretendido (a versão de maximização).$\min_y \{c^T y : Ay \ge b, y \in \{ 0,1\}^n \}$$O(2^{\delta n/2})$$\delta <1$

Dado um exemplo de CNF-SAT com variáveis { x j } n j = 1 , formular um IP 0-1 com duas variáveis y j , ¯ y j para cada variável x j no SAT instância. Como é habitual, a cláusula ( x 1 ∨ ¯ x 2 ∨ x 3 ) seria representado como y 1 + ¯ y 2$\Phi = \wedge_{i=1}^m C_i$$\{x_j \}_{j=1}^n$$y_j, \overline{y}_j$$x_j$$(x_1 \vee \overline{x}_2 \vee x_3)$ . Em seguida, para cada variável x j na instância SAT, adicione uma restrição y j + ¯ y j ≥ 1 . O objetivo é minimizar ∑ n j = 1 ( y j + ¯ y j ) . O objetivo do IP será n se a instância SAT for satisfatória.$y_1 + \overline{y}_2 + y_3 \ge 1$$x_j$$y_j + \overline{y}_j \ge 1$$\sum_{j=1}^n (y_j + \overline{y}_j)$$n$

Obrigado a Stefan Schneider pela correção.

Atualização: em Em problemas difíceis como CNF-Sat, os autores conjeturam que SET COVER não pode ser resolvido no tempo , δ < 1 , em que n se refere ao número de conjuntos. Se verdadeiro, isso mostraria que meu problema não pode ser resolvido no tempo O ( 2 δ n ) também.$O(2^{\delta n})$$\delta <1$$n$$O(2^{\delta n})$

Atualização 2. Até onde sei, supondo SETH, meu problema não pode ser resolvido no tempo , pois foi demonstrado que o Conjunto de Acertos (com um conjunto básico de tamanho n ) não pode ser resolvido no tempo O ( 2 δ n ) .$O(2^{\delta n})$$n$$O(2^{\delta n})$