Formalizando a teoria dos conjuntos finitos na teoria dos tipos

A maioria dos assistentes de prova tem uma formalização do conceito de "conjunto finito". Essas formalizações, no entanto, diferem bastante (embora se espere que todas sejam essencialmente equivalentes!). O que não entendo neste momento é o espaço de design envolvido e quais são os prós e os contras de cada formalização.

Em particular, gostaria de entender o seguinte:

• Posso axiomatizar conjuntos finitos (isto é, tipos habitados por um número finito de habitantes) na teoria de tipos simples? Sistema F? Quais são as desvantagens de fazê-lo dessa maneira?
• Eu sei que isso pode ser feito 'elegantemente' em um sistema tipicamente dependente. Mas, do ponto de vista clássico, as definições resultantes parecem extremamente estranhas. [Eu não estou dizendo que eles estão errados, longe disso!]. Mas também não entendo por que eles estão "certos". Entendo que eles escolhem o conceito correto , mas a razão mais profunda para 'dizer dessa maneira' é o que não entendo completamente.

Basicamente, eu gostaria de uma introdução fundamentada ao espaço de design das formalizações do conceito de 'conjunto finito' na teoria dos tipos.

Eu sei que isso pode ser feito 'elegantemente' em um sistema tipicamente dependente. Mas, do ponto de vista clássico, as definições resultantes parecem extremamente estranhas.

Você pode explicar o que você quer dizer com "alienígena"? Parece-me que você formaliza o conceito de conjunto finito exatamente da mesma maneira na teoria dos tipos e na teoria dos conjuntos.

$Fin(n)$

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \{ k \in \mathbb{N} \;|\; k < n \}$$ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \exists n\in\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

Na teoria dos tipos, você pode fazer exatamente a mesma coisa! Observe que é um tipo com elementos (já que o segundo componente do par é irrelevante para a prova). Em seguida, você pode definir o construtor do tipo de finitude como: Onde significa isomorfismo de tipos.

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \Sigma k:\mathbb{N}.\; \mathsf{if}\; k < n\,\mathsf{then}\; \mathsf{Unit} \;\mathsf{else}\; \mathsf{Void}$$ $\mathrm{Fin}(n)$$n$ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \Sigma n:\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

Deixe-me ver se posso acrescentar algo útil à resposta de Neel. O "espaço de design" para conjuntos finitos é muito maior construtivamente do que é classicamente porque várias definições de "finito" não precisam concordar construtivamente. Várias definições na teoria dos tipos fornecem conceitos ligeiramente diferentes. Aqui estão algumas possibilidades.

Conjuntos finitos Kuratowski ( -finite) pode ser caracterizada como a livre -semilattices: dado um conjunto, ou tipo objeto , os elementos do livre -semilattice pode ser de thougth como subconjuntos finitos de . De fato, cada um desses elementos é gerado por:$K$$\lor$$X$$\lor$$K(X)$$X$

• o elemento neutro , que corresponde ao conjunto vazio, ou$0$
• um gerador , que corresponde ao singleton , ou$x \in X$$\lbrace x \rbrace$
• uma união de dois elementos, que corresponde a uma união.$S \lor T$

Uma formulação equivalente de é: é infinito se, e somente se, existir e uma exceção .$K(X)$$S \subseteq X$$K$$n \in \mathbb{N}$ $e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$

Se compararmos isso com a definição de Neel vemos que ele requer um bijection . Isso equivale a pegar os subconjuntos infinitos que têm igualdade decidível: . Vamos usar para a recolha de decidable subconjuntos -finite de .$e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$$K$$S \subseteq X$$\forall x, y \in S . x = y \lor x \neq y$$D(X)$$K$$X$

Obviamente, é fechado sob uniões finitas, mas não precisa ser fechado sob interseções finitas. E não está fechado em nenhuma operação. Como as pessoas esperam que conjuntos finitos se comportem um pouco como uma "aglebra booleana sem topo", também é possível tentar defini-los como a álgebra booleana generalizada livre ( , , e complementos relativos ), mas na verdade nunca ouviu falar de tal esforço.$K(X)$$D(X)$$0$$\lor$$\land$$\setminus$

Ao decidir qual é a definição "correta", você deve prestar atenção ao que deseja fazer com os conjuntos finitos. E não há uma definição correta única. Por exemplo, em que sentido de "finito" é o conjunto de raízes complexas de um finito polinomial ?

Consulte Construtivamente finito? por Thierry Coquand e Arnaud Spiwack para uma discussão detalhada da finitude. A lição é que a finitude está longe de ser óbvia construtivamente.