Complexidade da computação um menor mais denso

Considere o seguinte problema.
Entrada: Um gráfico não direcionado . Saída: Um gráfico menor de com a maior densidade de arestas entre todos os menores de , ou seja, com a maior proporção.$G=(V,E)$
$H$$G$$G$$|E(H)|/|V(H)|$

Este problema foi estudado? É solucionável em tempo polinomial ou é NP-difícil? E se considerarmos classes de gráfico restritas, como classes com menores excluídos?

Se pedirmos o subgráfico mais denso, o problema é solucionável no tempo polinomial . Se adicionarmos um parâmetro adicional e solicitarmos o subgráfico mais denso com vértices, o problema será NP-completo (essa é uma redução fácil de -clique).$k$$k$$k$

Ok, como ainda não há nada aqui no caminho de uma resposta, deixe-me fazer pelo menos algumas observações simples:

Para gráficos de largura de árvore delimitada, deve ser possível encontrar um menor mais denso (ou mesmo um menor com número especificado de arestas e vértices) pelo tipo usual de programa dinâmico na decomposição em árvore, em que cada estado do programa dinâmico acompanha o número de arestas e vértices na parte do menor que vive em uma subárvore da decomposição, o subconjunto de vértices na bolsa da decomposição que participa do menor, as equivalências entre os vértices nesse subconjunto causadas pelas contrações menores no todo gráfico e um refinamento dessa relação de equivalência causada pelas contrações na parte do menor que vive na subárvore.

Nesse caso, seguiria que, quando a densidade estiver abaixo de três, deve ser possível encontrar o menor mais denso no tempo polinomial (com um fator constante que depende de quão próximo de três a densidade está). Pois, os gráficos cujo menor mais denso tem densidade têm menores proibidos planares e, portanto, limitam a largura de árvore.$\le 3-\epsilon$

$G$$k\in \mathbb{N}$$G$$k$$d$$d/2$

$k$$k$$O(n^3)$