Complexidade da convolução no anel max / plus

Podemos fazer convolução em para mais / multiplicar polinômios com FFT. No entanto, a abordagem não parece muito generalizável para anéis em geral. Houve algum progresso na convolução ingênua de para o anel max / plus?$O(n\log n)$$O(n^2)$

Devo observar que é possível transformar soft-max / plus em plus / product fazendo exponenciação. Aqui .$\text{soft-max}(x,y)=\log(e^x+e^y) = \max(x,y) + \log(1+e^{\min(x,y)-\max(x,y)})$

Há uma pergunta mais geral sobre mathoverflow .

Pedi uma pergunta semelhante sobre CS.SE . O jbapple forneceu uma boa resposta. Citar

"Colares, convoluções e X + Y", de Bremner et al. mostra um para este problema na RAM real e umO(n$O\left(\frac{n^2(\lg \lg n)^3}{\lg^2 n}\right)$algoritmo no modelo de árvore de decisão linear não uniforme.$O(n \sqrt{n})$

Qualquer melhoria nesse limite esclarecerá alguns problemas difíceis, como classificar e todos os pares de caminhos mais curtos.$X+Y$

Se uma das funções for convexa / côncava, podemos resolver o problema em . Veja "Acelerando a programação dinâmica", de Eppstein et al. .$O(n\log n)$