Contando o número de caminhos simples no gráfico não direcionado

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Como posso determinar o número de caminhos simples exclusivos em um gráfico não direcionado? Por um determinado comprimento ou por um intervalo de comprimentos aceitáveis.

Lembre-se de que um caminho simples é um caminho sem ciclos, então estou falando sobre contar o número de caminhos sem ciclo.

graph-theory co.combinatorics counting-complexity

— Ryan
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Isso já foi solicitado no mathoverflow: mathoverflow.net/questions/18603/…

— Listagem

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Na verdade, a pergunta no mathoverflow era sobre encontrar todos os caminhos e não contá-los. Encontrá-los pode ser muito mais difícil.

— amigos estão dizendo sobre dtcib

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Além das referências dadas nas respostas, uma observação trivial é que, se se pode contar o número de caminhos de comprimento

, pode-se responder à questão da existência de um caminho hamiltoniano. Então, provavelmente não é P.

n - 1

$n-1$

— Saeed

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Existem vários algoritmos que contam os caminhos simples de comprimento no tempo , o que é muito melhor do que a força bruta (tempo ). Ver, por exemplo, Vassilevska e Williams, 2009 . $k$ $f(k)n^{k/2+O(1)}$ $O(n^k)$

— Andreas Björklund
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É # P-complete (Valiant, 1979), então é improvável que você faça muito melhor que a força bruta, se quiser a resposta exata. Aproximações são discutidas por Roberts e Kroese (2007).

B. Roberts e DP Kroese, " Estimando o número de caminhos - em um gráfico $s$ $t$ ". Journal of Graph Algorithms and Applications , 11 (1): 195-214, 2007.

LG Valiant, " A complexidade dos problemas de enumeração e confiabilidade ". Jornal SIAM sobre Computação 8 (3): 410-421, 1979.

— David Richerby
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O artigo de Roberts e Kroese parece não dar garantias de aproximação. Existe um PTAS conhecido por esse problema?

— Sasho Nikolov

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@SashoNikolov, parece improvável que exista algum algoritmo de aproximação razoável. Dado

obtenha

de

substituindo cada nó por um clique do tamanho

onde

e

. Para cada caminho simples de comprimento

em

há aproximadamente

caminho hamiltoniano, haverá pelo menos

G = (V, E)

$G=(V,E)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

N = n^{c}

$N=n^c$

n = | V |

$n=|V|$

c ≫ 1

$c\gg 1$

ℓ

$\ell$

G

$G$

caminhos em

. Então, se

tem um

(N!)^{ℓ}

$(N!)^\ell$

G^{'}

$G'$

G

$G$

s - t

$s-t$

ou mais simplescaminhos

em

e, no máximo, algo como

caminhossimples

. Portanto, deve ser difícil aproximar-se dentro de um fator de cerca de

.

(N!)^{n}

$(N!)^{n}$

s - t

$s-t$

G^{'}

$G'$

(n - 1)! (N!)^{n - 1}

$(n-1)!(N!)^{n-1}$

s - t

$s-t$

N! / (n - 1)! ≫ n^{c - 1}!

$N!/(n-1)! \gg n^{c-1}!$

— Neal Young

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Eu gostaria de adicionar outro algoritmo de aproximação, um parametrizado: para um fixo $\delta>0$ (ou mais precocemente, ), você pode calcularumaaproximaçãodo número de caminhos simples, no gráfico não direcionado ou direcionado, do comprimentono tempo. $\delta =\Omega(\frac{1}{poly(k)})$ $(1+\delta)$ $k$ $O^*(2^{O(k)})$

— RB
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