Problemas NP-difíceis nos caminhos

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todo mundo sabe que existem muitos problemas de decisão que são difíceis de NP em gráficos gerais, mas estou interessado em problemas que são difíceis de NP quando o gráfico subjacente é um caminho. Então, você pode me ajudar a coletar esses problemas?

Eu já encontrei uma pergunta relacionada sobre problemas difíceis de NP em árvores .

graph-theory np-hardness

— Benjamin
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Se você vir essa pergunta, também deve ler atentamente a resposta aceita: "Pegue qualquer problema difícil do NP relacionado a superséries, supercordas, substrings etc. Depois, re-interprete uma string como um gráfico de caminho rotulado".

— Saeed

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Apenas uma observação: se os caminhos não estiverem rotulados, eles são obviamente altamente compressíveis e a representação compacta é uma escolha razoável ( bits para representar um caminho de nós) ... para que você também possa "converter" problemas difíceis que não use codificação unária; por exemplo, soma do subconjunto: dados caminhos não rotulados de comprimento , existe um subconjunto deles que pode ser unido para formar um caminho de comprimento ?

\log n

$\log n$

n

$n$

n

$n$

a_{1}, . . ., a_{n}

$a_1,...,a_n$

b

$b$

— Marzio De Biasi

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Uma correspondência de arco-íris em um gráfico colorido de borda é uma correspondência cujas bordas têm cores distintas. O problema é: dado um gráfico colorido com arestas e um número inteiro , possui um arco-íris combinando com pelo menos arestas? Isso é conhecido como problema de correspondência do arco-íris e seu NP é completo mesmo para caminhos com bordas adequadamente. Os autores ainda observam que, antes desse resultado, nenhum problema de gráfico não ponderado é conhecido como NP -hard para caminhos simples, com o melhor de seu conhecimento. $G$ $k$ $G$ $k$

Veja Le, Van Bang e Florian Pfender. "Resultados de complexidade para combinações de arco-íris." Ciência da Computação Teórica (2013) ou a versão arXiv .

— Juho
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Aqui estão algumas observações simples.

Um gráfico de caminho sem cor basicamente codifica um número inteiro, para que você possa pegar qualquer problema difícil de NP que envolva números inteiros codificados por unário e reinterpretá-lo como um problema de gráfico de caminho. Se você permitir vários números inteiros codificados em unário (= uma união separada de gráficos de caminho), poderá usar alguns problemas fortemente completos de NP, como a 3-Partição.
Um gráfico de caminho colorido codifica uma palavra em um alfabeto fixo; portanto, novamente, você pode enfrentar um problema difícil de NP nas palavras. Um exemplo que eu conheço é o problema dos Fatores Disjuntos introduzido em Bodlaender, Thomassé e Yeo .

— Super0
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Isso é basicamente o comentário de @ Saeed ..

— RB

Certo, sinta-se à vontade para votar em minha resposta. Quanto aos problemas difíceis de NP nas árvores, posso mencionar o conhecido problema de largura de banda; na verdade, isso mostrou ser difícil para a hierarquia W em um relatório de pesquisa da Bodlaender, que não consegui encontrar on-line.

— precisa saber é o seguinte

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O motivo do gráfico MinCC é NP-hard quando o gráfico é um caminho (mesmo APX-hard). Dado um gráfico com cores nos vértices e um conjunto de cores, encontre um subgráfico que corresponda ao conjunto de cores e minimize o número de componentes conectados. Consulte Problemas de complexidade na correspondência de padrões gráficos coloridos em vértices, JDA 2011.

— Olf
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$n$ $1 \leq \text{weight}(u,v) < n$ $[1..n]$

| lab (u) - lab (v) | = weight (u, v)

$| \text{lab}(u) - \text{lab}(v)| = \text{weight}(u,v)$

Isso é equivalente ao problema de Reconstrução da Permutação a Partir das Diferenças, que é o NPC (um dos meus resultados "não oficiais" :-).

— Marzio De Biasi
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Uma resposta trivial que se aproxima de parte do que aparece acima, mas, penso, distinto.

$f\colon\mathbb{N}^3\to\mathbb{N}$ $\langle k,m,w\rangle$ $f(k,m,w)$ $m$ $w$ $n^{\log k}$ $n$ $\log k$ $k$ em unário.) Esse conjunto de valores pode ser representado como um conjunto de caminhos.

— David Richerby
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O Problema de Fluxo Incompleto (UFP) permanece com dificuldade de NP em um caminho. De fato, a UFP é NP-difícil, mesmo em uma única borda, pois é equivalente ao problema da mochila.

— Arindam Pal
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O Rainbow Dominating Set (RDS) permanece NP-hard nos caminhos. Dado um gráfico colorido de vértice, um RDS é um DS em que cada cor do gráfico aparece pelo menos uma vez.

Conjuntos dominantes tropicais em gráficos coloridos em vértices , JDA'18

— Olf
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Conjunto Dominante e Conjunto Dominante Independente são NP-hard nos caminhos se também houver na entrada um "gráfico de conflito", em que uma aresta neste gráfico é um par de vértices que não podem estar na solução.

Cornet, Alexis; Laforest, Christian , Problemas de dominação sem conflitos , Discrete Appl. Matemática. 244, 78-88 (2018). ZBL1387.05181 .

— Olf
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