Complexidade de encontrar o número máximo de conjuntos disjuntos em pares

Suponha que eu tenha conjuntos com elementos extraídos de possíveis. Cada conjunto é do tamanho ( ), onde os conjuntos podem se sobrepor. Quero determinar se os dois problemas a seguir estão completos ou não com NP: $P$ $r$ $n$ $n<r$

Problema A. Existem ( ) conjuntos distintos dentro dos conjuntos (ou seja, sua interseção em pares está vazia)? $M$ $1 \le M \le P$ $P$

Problema B. Agora, elementos ( ) podem ser escolhidos de cada conjunto. Existem ( ) conjuntos distintos de tamanho cada um dentro dos conjuntos ? Observe que apenas um conjunto de elementos pode ser obtido de cada conjunto de elementos. $k$ $k<n$ $L$ $1 \le L \le P$ $k$ $P$ $k$ $n$

Observação : Estou interessado principalmente no caso em que é fixo ( ). $k,n$ $n \ge 2, k \ge 2$

Penso que o Problema A pode ser pensado como um problema de correspondência de hiper-grafos uniformes partites. Ou seja, temos os elementos de como vértices e cada hiper-aresta contém um subconjunto de vértices do gráfico. $n$ $r$ $r$ $n$

No problema de correspondência do hipergrafo uniforme partite NP-completo? $n$ $r$
Penso que o Problema B é equivalente a encontrar o número de hiper-bordas distintas da cardinalidade retiradas das hiper-bordas da cardinalidade . Essa versão restrita (no sentido de que cada conjunto de cardinalidade- é extraída de um conjunto pré-escolhido de elementos em vez de extraída arbitrariamente de elementos) do Problema A NP-completo? $k$ $n$ $k$ $n$ $r$

Exemplo ( ): $n=3,r=5, P=3$

$A=\{1,2,3\}$ , , $B=\{2,3,4\}$ $C=\{3,4,5\}$

Se , existe apenas um conjunto distinto, que é ou ou , já que cada um dos pares , , possui cruzamento vazio. $k=n=3$ $M=1$ $A$ $B$ $C$ $(A,B)$ $(A,C)$ $(B,C)$

Se , temos conjuntos distintos: uma solução é , (subconjuntos de e ). $k=2$ $L=2$ $\{1,2\}$ $\{3,4\}$ $A$ $B$

graph-theory np-hardness

— MJK
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Este é um caso especial do Problema Máximo de Embalagem de Conjuntos e os problemas A e B são NP-Completos . Observe que o problema é simplesmente um problema de correspondência se e também é fácil se . Então, eu assumirei . $n=2$ $n=1$ $n \ge 3$

Em vez de fazer a pergunta,

Existem conjuntos disjuntos entre os conjuntos ? $M$ $P$

Vamos fazer a seguinte pergunta

Qual é o número máximo de conjuntos disjuntos que podemos obter dos conjuntos ? $P$

É claro que, se a segunda pergunta for respondida em tempo polinomial, a mesma será a primeira, pois tudo o que precisamos fazer é comparar esse valor máximo com e gerar SIM se for menor ou igual a esse máximo e NÃO de outra forma. $M$ $M$

Além disso, se a primeira pergunta for respondida em tempo polinomial, a segunda também será, pois podemos usar a pesquisa binária em e obter a resposta para a segunda pergunta e adicionar apenas um fator de $M$ $O(\log{M})$

Portanto, podemos concluir que as duas perguntas são equivalentes. ou seja, a pergunta 1 é passível de solução polilomial se e somente se a pergunta 2 também for.

Também está claro que os problemas estão no NP, pois podemos facilmente verificar se os conjuntos emitidos são disjuntos. $M$

Portanto, a questão agora é como reduzimos um problema conhecido de NP-Hard a isso? Para fazer isso, reduzimos o problema de empacotamento máximo definido . Vou simplesmente focar no problema A, já que o problema B pode ser facilmente difícil definindo $k=n-1$

Considere uma instância arbitrária do problema máximo conjunto de embalagem . Observe que a única diferença entre o problema A e o problema de embalagem máxima do conjunto original é que, no problema A, o tamanho dos conjuntos deve ser igual. Vamos ser a cardinalidade máxima entre todos os conjuntos em . Se todo conjunto em tem a mesma cardinalidade, estamos prontos e o problema de cobertura do conjunto é exatamente o problema A. Agora, suponha que, para algum conjunto , tenhamos . Nós simplesmente adicionar elementos para que não são elementos de qualquer conjunto em . Repetimos esse processo até que todos os conjuntos $T$ $t$ $T$ $T$ $S_i \in T$ $|S_i| < t$ $(t-|S_i|)$ $S_i$ $T$ $S_i \in T$ tem o mesmo tamanho. É claro que a adição de novos elementos dessa maneira não altera o tamanho do número máximo de conjuntos disjuntos.

Portanto, se pudermos resolver o problema em tempo polinomial, podemos resolver o problema de empacotamento máximo definido em tempo polinomial, pois tudo o que precisamos fazer é remover os elementos extras que adicionamos e isso não altera o tamanho da número máximo de conjuntos disjuntos em . $A$ $T$

EDIT - Algumas informações adicionais sobre o problema B

Suponha que o problema B tenha uma solução de tempo polinomial, agora considere uma instância arbitrária do problema A com elementos por conjunto. Agora vamos adicionar um elemento fictício para cada conjunto em . Agora fazemos a seguinte pergunta. $T$ $n$ $d$ $T$

Qual é o número máximo de conjuntos disjuntos que podemos obter retirando elementos de cada conjunto? $n$

Agora sabemos que entre os conjuntos no máximo, no máximo um deles pode conter o elemento fictício; portanto, se a resposta que obtivermos como máximo for , o número máximo real de conjuntos na instância (nosso problema original A) é ou , mas isso fornece uma aproximação constante do fator para a gaxeta máxima definida. E essa aproximação só é possível se . Então o problema B também é difícil. $M$ $T$ $M$ $(M-1)$ $P=NP$

— Obinna
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Em relação ao problema B: se você adicionar um elemento fictício a todos os conjuntos do Problema A, obterá conjuntos de tamanho . No exemplo que aparece na minha pergunta ( ), você verá que o número máximo de conjuntos disjuntos de tamanho é 3: . No entanto, a solução para o problema A é que existe apenas um conjunto. Em outras palavras, eu não vejo como uma solução para o problema B dá um fator de aproximação constante para o Problema A.

n + 1

$n+1$

n = 3, P = 3

$n=3, P=3$

n - 1 = 2

$n-1=2$

{1, d}, {2, 3}, {4, 5}

$\left\{ {1,d} \right\},\left\{ {2,3} \right\},\left\{ {4,5} \right\}$

— MJK

Se você adicionar o elemento fictício, terá os conjuntos e . Esta nova instância com é a instância do problema Uma Estamos interessados em. Agora, execute o algoritmo B suposto nesses conjuntos, ou seja, e . É isso que eu estou dizendo. Observe que o problema se reduz a encontrar uma correspondência máxima se ou .

A' = {1, 2, 3, d}, B' = {2, 3, 4, d}

$A′= \left\{ {1,2,3,d} \right\}, B′= \left\{ {2,3,4,d} \right\}$

C' = {3, 4, 5, d}

$C′= \left\{ {3,4,5,d} \right\}$

n = 4

$n=4$

n = 4

$n=4$

k = 3

$k=3$

n = 2

$n=2$

k = 2

$k=2$

— Obinna Okechukwu