Problemas fáceis em gráficos não ponderados, mas difíceis em gráficos ponderados

Muitos problemas de gráficos algorítmicos podem ser resolvidos em tempo polinomial, tanto em gráficos não ponderados quanto em ponderados. Alguns exemplos são caminho mais curto, árvore de abrangência mínima, caminho mais longo (em gráficos acíclicos direcionados), fluxo máximo, corte mínimo, correspondência máxima, arborescência ideal, certos problemas de subgráfico mais densos, cortes direcionados disjuntos máximos, cortes direcionados disjuntos máximos, clique máximo em determinadas classes de gráfico, max independente definido em determinadas classes de gráficos, vários problemas máximos de caminhos disjuntos, etc.

Existem, no entanto, alguns (embora provavelmente significativamente menos) problemas que são solucionáveis ​​em tempo polinomial no caso não ponderado , mas se tornam difíceis (ou têm status aberto) no caso ponderado . Aqui estão dois exemplos:

1. Dado o gráfico completo $n$ vértice e um número inteiro $k\geq 1$ , encontre um subgrafo estendido conectado a $k$ com o número mínimo possível de arestas. Isso é solucionável no tempo polinomial, usando um teorema de F. Harary, que informa a estrutura dos gráficos ótimos. Por outro lado, se as bordas são ponderados, em seguida, encontrar o peso mínimo $k$ -connected abrangendo subgráfico é $NP$ -Hard.

2. Um artigo recente (dezembro de 2012) de S. Chechik, MP Johnson, M. Parter e D. Peleg (veja http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf ) considera, entre outras coisas, um problema de caminho que eles chamar Caminho de exposição mínima. Aqui, procuramos um caminho entre dois nós especificados, de modo que o número de nós no caminho, mais o número de nós que têm um vizinho no caminho, seja mínimo. Eles provar que em grau gráficos limitadas isto pode ser resolvido no tempo polinomial para o caso não ponderada, mas torna-se -Hard no caso ponderada, mesmo com grau ligado 4. (Nota: A referência foi encontrado como uma resposta à pergunta O é a complexidade desse caminho? )$NP$

Quais são outros problemas interessantes dessa natureza, ou seja, ao mudar para a versão ponderada causa um "salto de complexidade"?

No mundo dos algoritmos de aproximação, existe o problema de cobertura de vértices capacitados. Dados e as capacidades inteiras c ( v ) para cada v ∈ V, o objetivo é encontrar uma cobertura de vértice de tamanho mínimo para G, em que o número de arestas cobertas por v é no máximo c ( v ) . Esse problema tem uma aproximação constante de fator no caso não ponderado (ou seja, queremos minimizar o tamanho da cobertura do vértice) enquanto ele é Ω ( log n ) -hard (a menos que$G=(V,E)$$c(v)$$v \in V$$G$$v$$c(v)$$\Omega(\log n)$ ) no caso ponderado (cada vértice tem um peso w ( v ) e queremos minimizar o peso da cobertura).$P = NP$$w(v)$

Meu exemplo favorito é o problema de dominação independente (dado gráfico e número inteiro k , G tem um conjunto independente de inclusão máxima no máximo de k vértices?). Por um bom resultado devido a Martin Farber ( veja aqui ), a versão não ponderada é polinomialmente solucionável em gráficos de acordes. Gerard Chang prova que a versão ponderada é NP-completa para gráficos em acordes ( veja aqui ).$G$$k$$G$$k$

O problema de correspondência perfeita nos gráficos bipartidos está em enquanto a Correspondência perfeita de peso exato do gráfico bipartido é N P - Completa .$P$$NP$

Seguindo-se a resposta de Mohammad Al-Turkistany, parece que muitos dos polinomial-time problemas não ponderadas solucionáveis poderia ser transformado -completo no caso ponderada, se perguntar se há uma solução que tem exatamente$NP$ um determinado peso. O motivo é que isso pode permitir codificar o Problema da Soma de Subconjuntos na tarefa considerada.

Por exemplo, no caso de Correspondência exata com peso exato, podemos usar um gráfico bipartido completo como entrada, atribuindo pesos determinados às arestas de uma correspondência específica e 0 peso para todas as outras arestas. É fácil ver que este gráfico ponderada tem uma correspondência perfeita de peso exatamente se e somente se existe um subconjunto dos pesos que somas exatamente a W . (Se existe esse subconjunto, podemos pegar as arestas correspondentes da correspondência fixa e estendê-la para uma correspondência perfeita com arestas com peso 0, usando esse gráfico bipartido completo.) Penso, um truque simples semelhante também pode funcionar para vários outros problemas.$W$$W$

O Balanceamento de Gráfico (também conhecido como Orientação Mínima Externa) é outro exemplo desse fenômeno. Nesse problema, recebemos um gráfico não ponderado com arestas. O objetivo é orientar as bordas para que o grau externo máximo ponderado do dígrafo resultante seja minimizado.

O problema geralmente é motivado por um cenário de agendamento. Imagine que cada vértice é um processador e cada aresta é um trabalho que só pode ser executado em um de seus dois pontos de extremidade. O peso de uma aresta é o comprimento do trabalho correspondente e o objetivo é minimizar a produção.

O problema é difícil para NP e APX, mesmo que todos os pesos sejam 1 ou 2 (consulte Ebenlendr et al. "Balanceamento de gráfico: um caso especial de programação de máquinas paralelas não relacionadas" na SODA 2008). No entanto, está em P para gráficos não ponderados (consulte Asahiro et al. "Classes de gráfico e a complexidade da orientação do gráfico minimizando o grau máximo ponderado" no CATS 2008).

Talvez este seja apenas um exemplo trivial e você pode considerá-lo um caso degenerado, mas o primeiro exemplo que me veio à mente é o Problema do Vendedor Viajante (onde geralmente se supõe que o gráfico esteja completo). Observe que a versão não ponderada é o Ciclo Hamiltoniano, que é trivial para gráficos completos.

Encontrar o caminho do custo mínimo sob restrição de atraso (também conhecido como o problema do caminho mais curto restrito) parece se encaixar aqui.

$G=(V,E)$, uma função de atraso $d:V\to\mathbb {N}^+$, uma função de custo $c:\to\mathbb {N}^+$, um número $D\in \mathbb {N}^+$ e dois vértices $s,t\in V$.

O problema é encontrar o custo mínimo $s-t$ caminho, de modo que o atraso do caminho não exceda $D$.

Se o problema não for ponderado ($\forall v\in V:d(v) =1$, aka $hop-count$), o problema é trivial (dado como lição de casa em alguns cursos básicos de algo).

Se o problema for ponderado, ele se tornará o Caminho mais curto restrito , que é conhecido por ser NP-completo, mesmo nos DAGs.

O problema O corte máximo local com a vizinhança do FLIP é PLS-complete em gráficos gerais com ponderação de número inteiro.

AA Schaeffer e M. Yannakakis. (1991). Problemas simples de pesquisa local que são difíceis de resolver. Jornal SIAM sobre Computação, 20 (1): 56-87.

No entanto, se o maior peso for polinomial no tamanho do gráfico, as melhorias locais no potencial (peso de um corte) convergirão no tempo polinomial, pois cada aprimoramento aumentará a função potencial em pelo menos um e a função potencial é polinomialmente limitado. (Com pesos gerais, encontrar uma solução acessível por melhorias locais a partir de um corte inicial específico está completo no PSPACE.)

Uma coisa semelhante acontece também em outros "jogos em potencial".

O vendedor ambulante está aberto nos gráficos de grade vendidos, mas o ciclo de Hamilton (a variante não ponderada) é conhecido por ser polinomial.

Discussão de ambos no projeto de problemas abertos:

http://cs.smith.edu/~orourke/TOPP/P54.html

Em 2K_1-free, o corte máximo é polinomial e o corte máximo ponderado é NP-complete.