Quão ruim pode ser a coloração gulosa (cor da lista) para o número cromático c do gráfico?

O número cromático é definido no artigo Partições de gráficos em cografias . Ele solicita o número mínimo de cores usadas para colorir vértices, de modo que cada classe de cores seja uma cografia . Cograph é um gráfico livre de P4 , ou seja, não há caminho induzido de comprimento 3.

O papel indica o número de c-cromática como e prova que C ( L ) ≤ ⌈ 1 + $c(G)$naobservação12 na página 4. A prova pode ser usada para converter qualquer coloração em uma coloração deno máximo⌈1+$c(G)\le \lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$ cores, em tempo polinomial.$\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$

No estudo da coloração clássica de gráficos, ou seja, o número cromático , a coloração gananciosa foi discutida. O desempenho da coloração gananciosa é determinado pela ordem dos vértices. Na pior das hipóteses, um gráfico precisa | V $\chi(G)$ cores enquantoχ(G)=2. Isso implica que a taxa de aproximação de cores gananciosas é arbitrariamente ruim.$\frac{|V|}{2}$$\chi(G)=2$

Da mesma forma, quando estamos colorindo um gráfico em cografias, podemos usar a coloração gananciosa. Dada uma ordem de vértices, rotule cada vértice com a menor cor (suponha que as cores sejam rotuladas como 1, 2, 3, ....), de modo que cada classe de cor seja uma cografia.

Minha pergunta é:

1. qual é o pior comportamento das cores gananciosas nas cores das cografias?
2. É possível que a coloração gananciosa precise de mais de cores?$\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$

boa pergunta. Considere a seguinte construção: crie k P3s numerados / ordenados como 1-2-3 4-5-6 7-8-9, etc. Agora, 1-2-3 todos recebem a cor R pelo esquema guloso. Faça 4,5,6 todos adjacentes a 3. Em seguida, 4,5,6 cada um obterá a cor B. Agora faça os vértices 7,8,9 adjacentes a 3 e 6, para que eles não consigam obter as cores R ou B. Eles obtêm Y.

Continue com 10-11-12, com 10,11,12 adjacente a 3,6,9. Eles não podem ser coloridos com RBY, então eles recebem G.

Esses vértices de 3k precisarão de k = n / 3 cores. Mas observe que c (G) é 2, pois o conjunto {3,6,9,12, etc} induz um clique, e o restante do gráfico induz uma correspondência perfeita. Portanto, isso mostra que as cores gananciosas ainda podem ser arbitrariamente ruins para as cores das cografias.

$\frac{1+\Delta}{2}$

Outra pergunta interessante a ser feita seria se uma coloração gananciosa "mais inteligente" (como o LexBFS) produziria uma aproximação de taxa constante.