Problema de subgrafo conectado de peso máximo em gráficos planares

O problema do subgráfico conectado de peso máximo é o seguinte:

Entrada: um gráfico e um peso (possivelmente negativo) para cada vértice . $G=(V,E)$ $w_i$ $i \in V$

Saída: um subconjunto de peso máximo de vértices, de modo que esteja conectado. $S$ $G[S]$

Este problema é NP-difícil. David S. Johnson menciona na pág. 149 desta coluna que o problema permanece difícil em gráficos planares de grau máximo três com todos os pesos ou . $+1$ $-1$

Não consigo encontrar o artigo citado - A. Vergis, manuscrito (1983)

Alguma idéia de onde encontrar o jornal? Ou qual foi a redução?

— Austin Buchanan
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Na coluna "A NP-Completeness: Um Guia Contínuo", número 14, Johnson escreve "... Vergis [49]. Transformação de STEINER TREE EM GRAPHS [ND12] ..." . Não tenho acesso ao artigo da Vergis, no entanto, uma possível redução pode ser a seguinte.

Árvore Steiner (ST) no problema de gráficos

Instância : um gráfico não direcionado , um subconjunto dos vértices , chamados nós terminais ; um número inteiro não negativo $G = (V,E)$ $R \subseteq V$ $k$

Pergunta : existe uma subárvore de que inclui todos os vértices de (uma árvore de abrangência para ) e que contém no máximo arestas? $G$ $R$ $R$ $k$

O problema continua sendo o NPC, mesmo para gráficos planares (M. Garey e D. Johnson. O problema retilíneo das árvores de Steiner é NP-completo).

Dada uma instância do ST planar, por enquanto, suponha que você possa atribuir pesos arbitrários aos nós. Se e , você pode atribuir peso aos nós de e adicionar um nó do meio a cada extremidade de e atribuir peso a ele. Atribuir peso para os restantes nós em . O gráfico original tem uma árvore de abrangência para com no máximo $|R|=p$ $|E|=q$ $q+1$ $R$ $E$ $-1$ $0$ $V \setminus R$ $G$ $R$ $k$ arestas se e somente se no gráfico transformado você puder encontrar um subgrafo de peso alvo maior ou igual a . $W = p(q+1) - k$

Informalmente, para atingir a quantidade de você deve incluir todos os nós de no subgráfico e deve incluir no máximo nós do meio (correspondentes às arestas de ) que têm peso negativo -1 para mantê-los conectados . $p(q+1)$ $R$ $k$ $G$

Você pode reduzir o grau máximo do gráfico inteiro para três desta maneira: se apenas transforme cada nó em uma cadeia circular de nós (e ajuste o valor de acordo). Conecte as arestas de entrada a nós distintos da cadeia (que terão o grau 3). $D = \max\{deg(u_i) \mid u_i \in V\}$ $u_i$ $D$ $p$

E se você deseja usar apenas pesos , deve: (A) atribuir a todos os nós das cadeias circulares correspondentes aos nós em , (B) transformar cada nó do meio em uma cadeia linear de nós de peso e comprimento e (C) expandem ainda mais as cadeias circulares (com peso +1) correspondentes aos nós de com pelo menos comprimento $+1,-1$
$+1$ $V\setminus R$
$-1$ $l_E = |V\setminus R|+1$
$R$ ; e conjunto peso alvo . Informalmente, as cadeias expandidas e o novo alvo tornam ospesos dos nós correspondentes a (ponto A) irrelevantes. $l_R = l_E( |E| + 1)$ $W =pl_R - kl_E$
$+1$ $V \setminus R$

— Marzio De Biasi
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você é muito rápido ao projetar dispositivos de dureza NP!

— Suresh Venkat 21/03

@SureshVenkat: mas ainda não tenho certeza se está correto: -S. No entanto, também sou especialista em reduções de "Reinventing The Wheel" (RTW) :-). Além disso, com o yEd, você pode desenhar um gráfico em alguns minutos ... usando o tikzit, levaria horas :).

— Marzio De Biasi

Quando há uma tarefa satisfatória, como garantir que ela esteja conectada?

— Austin Buchanan

@AustinBuchanan: Eu mudei toda a prova ... veja se ela pode funcionar (a anterior corrigida com as bordas

estava correta, mas não garantiu um gráfico plano :-)

(y_{i}, y_{i + 1})

$(y_i,y_{i+1})$

— Marzio De Biasi