O isomorfismo do gráfico pode ser decidido com o não determinismo de raiz quadrada?

Não determinismo limitada associa uma função com uma classe de línguas aceites pelas máquinas de Turing determinísticos limitado de recursos, para formar uma nova classe - . Essa classe consiste nas linguagens que são aceitas por alguma máquina de Turing não determinística, obedecendo aos mesmos limites de recursos usados para definir , mas onde é permitido fazer no máximo movimentos não determinísticos. (Estou usando a notação de Goldsmith, Levy e Mundhenk, em vez do original de Kintala e Fischer, e é o tamanho da entrada.) $g(n)$ $C$ $g$ $C$ $M$ $C$ $M$ $g(n)$ $n$

Minha pergunta:

Existe uma constante tal que o GRAPH ISOMORPHISM esteja em - ? $c\ge0$ $c\sqrt{n}$ $\mathsf{PTIME}$

( Edit: Joshua Grochow apontou que uma resposta positiva a essa pergunta implicaria um algoritmo para GI que possui melhores limites de tempo de execução assintóticos do que os atualmente conhecidos. Portanto, eu ficaria feliz em relaxar o limite, permitindo movimentos não determinísticos.) $o(\sqrt{n}\log n)$

fundo

Para cada constante fixa , - , pois movimentos não determinísticos criam no máximo um número polinomial de configurações para explorar deterministicamente. Além disso, e, por meio do preenchimento, é possível exibir idiomas completos do NP em - para cada . $c \ge 0$ $\mathsf{PTIME} = {c\log n}$ $\mathsf{PTIME}$ $c\log n$ $\mathsf{NP} = \cup_c n^c\text{-}\mathsf{PTIME}$ $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ $\varepsilon > 0$

Kintala e Fischer observaram que decidir se um gráfico de entrada com vértices tem uma -clique é completo, mas está em - . Para ver isso, descarte os vértices que têm no máximo vizinhos. Se houver muito poucos vértices restantes, rejeite. Caso contrário, os vértices restantes formam um gráfico de tamanho . Em seguida, adivinhe um subconjunto de de vértices usando etapas não determinísticas e verifique se elas formam um clique no tempo polinomial. $V$ $(|V|/3)$ $\mathsf{NP}$ $O(\sqrt{n})$ $\mathsf{PTIME}$ $|V|/3 - 2$ $\Omega(|V|^2)$ $|V|/3$ $|V| = O(\sqrt{n})$

Alguns outros idiomas de gráficos densos em também estão em - . Esse é o caso de qualquer problema em que um subconjunto dos vértices sirva como certificado e o tamanho do gráfico de entrada seja . Exemplos são as versões promissoras do Caminho Induzido ou 3-Coloração para o caso de gráficos densos. Outros problemas parecem exigir certificados maiores, por exemplo, uma lista de vértices que definem um circuito hamiltoniano parece exigir bits . Não está claro para mim se alguém poderia usar uma quantidade de não-determinismo pequena demais para adivinhar o certificado para decidir esses problemas. $L$ $\mathsf{NP}$ $O(\sqrt{n})$ $\mathsf{PTIME}$ $\Omega(|V|^2)$ $\Omega(|V| \log |V|)$

Dado que - pode conter linguagens NP-completas, parece interessante perguntar em que lugar da hierarquia delimitada não-determinística caem as línguas potencialmente mais fáceis. Pode-se esperar que o GI, como uma linguagem que não parece completa com NP, esteja na hierarquia mais próxima de - do que - . No entanto, o certificado óbvio para GI especifica o mapa usandobits, que é . $n^\varepsilon$ $\mathsf{P}$ $\log n$ $\mathsf{P}$ $n$ $\mathsf{P}$ $|V|\log |V|$ $\omega(\sqrt{n})$

Outra maneira de pensar sobre essa questão: especificar um mapa entre os conjuntos de vértices é o menor certificado possível para a IG?

Edit: Seguem algumas observações (corrigidas), para tratar dos comentários de Joshua Grochow.

Se um certificado usa bits e pode ser verificado em tempo polinomial, a força bruta fornece um algoritmo para GI obter tempo. Com um certificado do tamanho , a força bruta fornece um algoritmo que tempo, enquanto um certificado do tamanho produz uma abordagem de força bruta levando tempo. O limite superior de longa data de Luks é de tempo, que fica entre esses dois limites até expoentes constantes. $f(n) = \Omega(\log n)$ $poly(n)2^{O(f(n))} = 2^{O(f(n))}$ $O(\sqrt{n})$ $2^{O(\sqrt{n})}$ $O(\sqrt{n}\log n)$ $2^{O(\sqrt{n}\log n)}$ $2^{O(\sqrt{n\log n})}$

Essas considerações sugerem que pode haver uma abordagem alternativa para o IG. A abordagem de Luks parece basear-se em identificar um subconjunto de geradores de um grupo associado. Uma máquina não determinística pode, portanto, adivinhar um subconjunto do grupo. Esses subconjuntos poderiam ser verificados exaustivamente para produzir um algoritmo determinístico. Se a lista de elementos puder ser especificada de forma sucinta, porque o grupo associado nunca é muito maior que o tamanho do gráfico ou porque o número de geradores necessários é sempre pequeno e a verificação de cada subconjunto candidato não leva muito tempo. pode gerar uma abordagem alternativa para o IG.

Chandra MR Kintala e Patrick C. Fischer, Refinando o não determinismo na computação com limite de tempo polinomial relativizado , SIAM Journal on Computing 9 (1), 46–53, 1980. doi: 10.1137 / 0209003
Judy Goldsmith, Matthew A. Levy, Martin Mundhenk, não-determinismo limitado , SIGACT News 27 (2), 20–29, 1996. doi: 10.1145 / 235767.235769
László Babai e Eugene M. Luks, Rotulagem canônica de gráficos , STOC 1983, 171–183. doi: 10.1145 / 800061.808746

— András Salamon
fonte

Então, se o gráfico for dado como matriz de adjacência de tamanho

, isso significa que eu posso fazer um número linear de movimentos não determinísticos por escrito no tamanho do conjunto de vértices

n^{2}

$n^2$

n

$n$

— John D.

O (| V |^{2})

$O(|V|^2)$

Ω ((| V | \log | V |)^{2})

$\Omega((|V|\log|V|)^2)$

O (\sqrt{n}) - P T I M E

$O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

n! p o l y (n) \approx 2^{O (n \log n)}

$n!poly(n) \approx 2^{O(n \log n)}$

2^{O (\sqrt{n} \log^{2} n)}

$2^{O(\sqrt{n} \log^2 n)}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2^{\sqrt{n} \log n}

$2^{\sqrt{n} \log n}$

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O(\sqrt{n})}$

@ MohammadAl-Turkistany: Talvez, mas vou ter que pensar um pouco. Existem pontos no algoritmo de Babai em que, uma vez que o grau de cor está abaixo do polilog, ele aplica o teste GI de degrau delimitado, como no melhor algoritmo anterior, e não está claro se é possível fazer o teste GI polilogico em polilog limitado não-determinismo, ou se alguém pode continuar a recursão de Babai para reduzir o grau a, digamos, grau de cor constante. Se e quando eu descobrir isso, atualizarei minha resposta - se você pensar sobre isso, fico feliz em conversar, mas provavelmente este não é o lugar certo para resolver isso.

— Joshua Grochow

$O(\sqrt{n})-\mathsf{PTIME}$ $2^{O(\sqrt{n})}$ $2^{O(\sqrt{n \log n})}$

$O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$ $\sqrt{n/\log n}$ $\sqrt{n \log n}$ $n^{O(d /\log d)}$ $d=O(\sqrt{n \log n})$ $O(\sqrt{n \log n})-\mathsf{PTIME}$

— Joshua Grochow
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Você tem links para versões que não estão atrás de um paywall? Nunca vi uma implementação real do truque de Zemlyachenko ou do teste de isomorfismo de grau limitado. O particionamento de vértices por grau como NAUTY acelera as coisas, mas naqueles com o mesmo grau você ainda precisa verificar todas as permutações do ciclo principal deles no AFIK.

— Chad Brewbaker

@ Chad: infelizmente, não estou ciente das versões não paywalled desses artigos. No entanto, o truque de Zemlyachenko é bastante simples de implementar na prática e reduz essencialmente o grau. Para a implementação prática do truque de Zemlyachenko, acho que a única questão é a troca entre enumerar conjuntos de vértices a serem individualizados (exponencial no tamanho do conjunto) e quaisquer ganhos potenciais obtidos ao reduzir efetivamente o grau. Não sei se ele é realmente implementado no NAUTY ou em outros algoritmos de isomorfismo prático.

— Joshua Grochow

G

$G$

π

$\pi$

π (G)

$\pi(G)$

G

$G$

π

$\pi$

G

$G$

π (G)

$\pi(G)$

n

$n$

n!

$n!$