É necessário chamar multiplicação de matrizes

Uma garra é um . Um algoritmo trivial detectará uma garra em . Isso pode ser feito em , onde é o expoente da multiplicação rápida de matrizes, como segue: pegue o subgrafo induzido por para cada vértice e encontre um triângulo em seu complemento. $K_{1,3}$ $O(n^4)$ $O(n^{\omega+1})$ $\omega$ $N[v]$ $v$

Tanto quanto eu sei, esses algoritmos básicos são conhecidos apenas. Spinrad listou em seu livro "representações gráficas eficientes" a detecção de uma garra no tempo como um problema em aberto (8.3, página 103). Para o limite inferior, sabemos que um algoritmo de tempo implicará um algoritmo de tempo para encontrar um triângulo. Portanto, podemos considerar como um limite inferior. $o(n^{\omega+1})$ $O(n^c)$ $O(n^{\max{(c,2)}})$ $\Omega(n^\omega)$

Questão:

Existe algum progresso nisso? Ou algum progresso em mostrar que é impossível?
Existem outros problemas naturais com os algoritmos de tempo $O(n^{\omega+1})$ que são os melhores?

Observação:

Estou pedindo explicitamente a detecção de uma garra, em vez do reconhecimento de gráficos sem garras. Embora um algoritmo geralmente resolva os dois, existem poucas exceções.
Alega-se no Manual de Algoritmos e Ciência da Computação Teórica que ele pode ser encontrado em tempo linear, mas foi apenas um erro de digitação (consulte "representações gráficas eficientes").

graph-theory graph-algorithms graph-classes

— Yixin Cao
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Você pode usar o método de Alon et al. Para encontrar triângulo em , para cada nó que termina em um que é melhor que se o gráfico não for muito denso.

O (| E |^{1.41})

$O(|E|^{1.41})$

O (| V | \cdot | E |^{1.41})

$O(|V|\cdot |E|^{1.41})$

| V |^{ω + 1}

$|V|^{\omega+1}$

— RB

@RB, obrigado por apontar isso. A idéia básica ainda é executar o algoritmo de detecção de qualquer triângulo vezes, que é o que eu quero evitar.

n

$n$

— Yixin Cao

Como podemos esperar encontrar algum algoritmo que não esteja relacionado à descoberta de triângulos? Porque qualquer que seja o algoritmo, verifique os vizinhos de cada vértice. Quero dizer que a propriedade é uma propriedade muito local, exceto com a constante diferença de fator que todo vértice deve ser visto. (Ou não consigo imaginar nenhum algoritmo natural que evite essa localidade). Você tem alguma idéia vaga?

— Saeed

Talvez seja bom mencionar que, se pudermos encontrar uma garra no tempo f (n), também podemos encontrar um triângulo no tempo f (n + 1) (basta pegar o complemento do gráfico e adicionar mais um vértice conectado a todos ), portanto, não devemos esperar encontrar algo melhor que .

n^{ω}

$n^\omega$

— Domotorp

@domotorp, parece que parte é clara, o contrário não é claro, quero dizer por que precisamos de pesquisa linear. Como Yixin também apontou, pode haver outro algoritmo que não usa um algoritmo de busca de triângulo e resolve o problema em

, o que eu acho difícil encontrar esse algoritmo e provavelmente é mais fácil mostrar que qualquer O algoritmo usa a descoberta de triângulo como sub-rotina (ou pode ser convertida) com pesquisa linear nela.

o (n^{ω + 1})

$o(n^{\omega +1})$

— Saeed

Respostas:

Penso que podemos fazer um pouco melhor que para gráficos densos, usando multiplicação de matriz retangular. Uma idéia semelhante foi usada por Eisenbrand e Grandoni ("Sobre a complexidade da camarilha de parâmetro fixo e do conjunto dominante", Theoretical Computer Science Volume 326 (2004) 57-67) para detecção de 4 camaradas. $O(n^{1+\omega})$

Seja o gráfico no qual queremos detectar a existência de uma garra. Vamos ser o conjunto de (ordenadas) em pares de vértices . Considere a seguinte matriz booleana de tamanho : cada linha é indexada por alguns , cada coluna é indexada por alguns , e a entrada correspondente é uma se e somente se $G=(V,E)$ $A$ $V$ $M$ $|V|\times |A|$ $u\in V$ $(v,w)\in A$ , e . Considere o produto matriz booleano de e sua transposta . O gráfico tem uma garra, se e somente se existir modo que a entrada de na linha indexada por e a coluna indexada por seja uma. $\{u,v\}\in E$ $\{v,w\}\in E$ $\{u,w\}\notin E$ $M$ $M^T$ $G$ $\{u,v\}\notin E$ $MM^T$ $u$ $v$

A complexidade desse algoritmo é essencialmente a complexidade de calcular o produto booleano de uma matriz por uma matriz , em que indica o número de vértices no gráfico. Sabe-se que esse produto de matriz pode ser calculado no tempo , o que é melhor que para o limite superior mais conhecido em . Obviamente, se (como conjecturado), então as duas abordagens apresentam a mesma complexidade $n\times n^2$ $n^2\times n$ $n$ $O(n^{3.3})$ $O(n^{1+\omega})$ $\omega$ $\omega=2$ . $O(n^3)$

— Francois Le Gall
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Ótimo! É exatamente isso que eu quero para a minha primeira pergunta: apenas uma chamada de multiplicação de matrizes, embora seja maior. Vou esperar por mais comentários ou respostas na minha segunda pergunta antes de tomá-la como resposta.

— Yixin Cao

Não sei como evitar a multiplicação de matrizes, mas você pode analisá-las de maneira que o tempo seja efetivamente o de um número menor. Esse truque é de $n$

Kloks, Ton; Kratsch, Dieter; Müller, Haiko (2000), "Localizando e contando pequenos subgráficos induzidos eficientemente", Information Processing Letters 74 (3–4): 115-121, doi: 10.1016 / S0020-0190 (00) 00047-8, MR 1761552.

A primeira observação é que, quando você vai multiplicar matrizes, as matrizes não são realmente , mas onde é o grau de cada vértice, porque o que você está procurando é um co-triângulo na vizinhança de cada vértice. $n\times n$ $d\times d$ $d$

Segundo, em um gráfico sem garras, todo vértice deve ter vizinhos. Pois, caso contrário, o conjunto de vizinhos teria poucas arestas para evitar ter um triângulo no complemento. Então, quando você está fazendo multiplicações de matrizes, você só precisa fazer isso em matrizes de tamanho $O(\sqrt m)$ ao invés de. $O(\sqrt m)$ $n$

Além disso, cada aresta pode contribuir para o tamanho do problema de multiplicação de matrizes para apenas dois vértices, seus pontos finais. O pior caso ocorre quando os para o tamanho total desses problemas de multiplicação da matriz são espalhados em $2m$ subproblemas do tamanho $O(\sqrt m)$ cada um, o que fornece um limite de tempo total de, uma melhoria para gráficos esparsos sobre olimite demencionado por R B. $O(\sqrt m)$ $O(m^{(1+\omega)/2})$ $O(nm^{\omega/2})$

— David Eppstein
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Uau, essa é uma ideia inteligente, eu estava pensando se é possível fazer uma pesquisa sublinear (na verdade, refutando isso) e nem sequer pensei nas propriedades intrínsecas do problema.

— Saeed

Obrigado David. Deixo em aberto por um momento, pois minha segunda pergunta ainda não foi percebida.

— Yixin Cao