Problemas polinomiais em classes de grafos definidas por subgráficos cíclicos induzidos proibidos

11

Cruzado do MO .

Seja $C$ uma classe de gráfico definida por um número finito de subgráficos induzidos proibidos, todos cíclicos (contêm pelo menos um ciclo).

Existem problemas de gráfico NP-rígido que podem ser resolvidos em tempo polinomial para $C$ diferente da capa Clique e Clique?

Se bem me lembro, isso é impossível para um conjunto independente (a menos que $P=NP$ ).

A pesquisa em graphclasses.org não encontrou nenhuma.

Uma classe para a qual Clique e Capa são polinomiais é C5, C6, X164, X165, sunlet4, sem triângulo

Editar

Negativo para IS e Dominação está neste documento . Na página 2, os gráficos $S_{i,j,k}$ .

— joro
fonte

3

Em Stefan Kratsch, Pascal Schweitzer, Gráfico Isomorfismo para classes Gráfico caracterizada por dois proibida Induzidos Subgrafos : GI é tempo polinomial (trivialmente) solúvel para

gráficos, mas também (menos trivialmente) para

gráficos

.

(K_{s}, I_{t}) -free

$(K_s, I_t)\text{-free}$

(K_{s}, K_{1, t}) -free

$(K_s, K_{1,t})\text{-free}$

— Marzio De Biasi

2

Talvez seja melhor observar também a pergunta sobre MO na postagem cruzada. Se alguém estiver interessado, talvez queira ver as respostas / comentários aqui.

— RB

1

@MarzioDeBiasi, por que não transformar seu comentário em resposta?

— Saeed

14

Eu acho que existem vários problemas difíceis que se tornam fáceis para gráficos sem triângulo; especialmente aqueles que lidam diretamente com triângulos como Partição em triângulos (G tem uma partição em triângulos?). Outros exemplos menos triviais incluem:

Problema de corte estável (G tem um conjunto independente S de modo que GS seja desconectado?). Veja: Sobre sutsets estáveis nos gráficos, Matemática Aplicada Discreta. 105 (2000) 39-50.
Base do gráfico de interseção (G é o gráfico de interseção dos subconjuntos de um conjunto de terra do elemento k?). Veja: Problema [GT59] em: Garey & Johnson, Computadores e Intratabilidade: Um Guia para a Teoria da Completude NP.

— Segunda-feira Tag
fonte

11

Aqui estão alguns exemplos adicionais para a resposta de Mon Tag:

O problema do corte desconectado ( admite um conjunto de vértices tal modo que e o subgrafo de induzido por são desconectados) é NP-completo (veja aqui ). É fácil ver que esse problema é polinomialmente solucionável para gráficos sem triângulo (daí também o problema do Stable Cutset, como mencionado por Mon Tag). $G$ $S$ $G-S$ $G$ $S$
O reconhecimento de gráficos de linhas triangulares é NP-completo (veja aqui ). Também é fácil ver que esse problema se torna polinomialmente para gráficos de entrada sem triângulo.
É difícil calcular a correspondência máxima conectada (veja aqui . Uma correspondência é conectada se, para qualquer par de arestas correspondentes, houver outra aresta do gráfico incidente em ambos). Pode ser provado que este problema pode ser resolvido é polinomialmente para gráficos -free. $(C_3, C_4, C_5)$

— vb le
fonte

Obrigado. Portanto, alguns problemas permanecem difíceis e outros não.

— Joro

10

$(K_s,I_t)\text{-free}$ $(K_s,K_{1,t})\text{-free}$

$K_{1,t}$

Depois de pensar um pouco sobre isso, parece fácil provar o seguinte (original?):

$\{H_1,...H_k\}$ $H_i$ $\mathcal{C}$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$

$(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$ $G_1,G_2$ $r$ $H_i$ $(u,v)$ $G_1,G_2$ $l = \lceil r/3 \rceil$ $l$ $(u,p_1,p_2,...,p_l,v)$ $G'_1, G'_2$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $3\lceil r/3 \rceil + 3 > r$ $G_1,G_2$

insira a descrição da imagem aqui
$G_1$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $G'_1$ $H_i$ $r=15$ $G_1$ $l = 5$

Também podemos estender o resultado negativo ao problema do NPC do ciclo hamiltoniano, na verdade é um corolário imediato ao seguinte (original?):

$k \geq 3$ $G$ $\leq k$

$G$ $v$ $outdeg(v) + indeg(v) \leq 3$ $G$ $G'$ $v$ $indeg(v )=1$ $v$ $indeg(v)=2$ $G'$ $\geq k$ $G''$ $G$

insira a descrição da imagem aqui

Corolário: os problemas do ciclo e do caminho hamiltoniano permanecem NP-completos, mesmo se restritos aos , nos quais cada contém um ciclo. $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$

— Marzio De Biasi
fonte

Obrigado. é árvore, portanto não é cíclico ou estou perdendo alguma coisa?

K_{1, t}

$K_{1,t}$

— Joro

Você está certo! Eu vim com um resultado negativo ... ver se ele pode trabalhar, ou se é completamente errado: -S: -S

— Marzio De Biasi

Obrigado. Então você obteve um resultado negativo para o GI AND do ciclo hamiltoniano?

— Joro

Espero que esteja correto, isso resolva muito os problemas do graphclasses.org.

— Joro

1

Apenas um nitpick, cada ciclo deve ser sth como onde é um grau de vértice , caso contrário, sua parte se não estiver necessariamente correta, pode ser é isomórfica, mas não .

(m + 1) d_{i}

$(m+1)d_i$

d_{i}

$d_i$

i

$i$

G_{1}, G_{2}

$G_1,G_2$

G_{1}^{'}, G_{2}^{'}

$G'_1,G'_2$

— Saeed

1

MAX-CUT permanece NP-completo.

O corte máximo simples do lema 3.2 é NP-completo nas duas classes de gráficos a seguir:

gráficos que não contêm ciclos de comprimento no máximo , para cada . $k$ $k \ge 3$

Eles estão subdividindo uma aresta duas vezes.

De "MAX-CUT e relações de contenção em gráficos, Marcin Kaminski"

— joro
fonte

1

Mas você pediu problemas resolvidos em tempo polinomial, certo?

— Peng O

@ PengO, de fato, mas esse é um resultado negativo, por isso é impossível ser polinomial. Outra resposta também mostra resultados negativos.

— Joro