Que paradigma de prova automatizada de teoremas é apropriado para a formalização no estilo Principia Mathematica?

Possuo um livro que, inspirado nos Principia Mathematica de Russell e no positivismo lógico, tenta formalizar um domínio específico, determinando axiomas e deduzindo deles teoremas. Em suma, ele tenta fazer por seu domínio o que o PM tentou fazer pela matemática. Como o PM, foi escrito antes que a prova automatizada de teoremas (ATP) fosse possível.

Estou tentando representar esses axiomas em um sistema moderno de ATP e tentar deduzir teoremas, inicialmente aqueles deduzidos pelo autor (à mão). Eu nunca usei um sistema ATP antes e, considerando a infinidade de opções (HOL, Coq, Isabelle e muito mais), cada uma com seus pontos fortes, pontos fracos e aplicativos pretendidos, está se mostrando difícil decidir qual é apropriado para minhas necessidades específicas. objetivo.

O formalismo do autor espelha de perto o PM. Existem classes (conjuntos?), Classes de classes e assim por diante até 6 níveis de hierarquia. Há lógica de primeira ordem e possivelmente de ordem superior. Dada a conexão com o PM, eu investiguei inicialmente o Metamath, pois vários teoremas do MP foram provados no MetaMath por outras pessoas. No entanto, Metamath é obviamente um verificador de prova e não um sistema ATP.

Passando por descrições de vários sistemas ATP, vejo várias características, como implementações da teoria de tipos de Church, teorias de tipos construtivas, teorias de tipos intuicionistas, teoria de conjuntos tipificados / não tipados, dedução natural, tipos de cálculo lambda, polimorfismo, teoria de funções recursivas e a existência de igualdade (ou não). Em resumo, cada sistema parece implementar uma linguagem muito diferente e deve ser apropriado para formalizar coisas diferentes. Suponho que as bibliotecas existentes para formalizar a matemática não sejam relevantes para o meu propósito.

Qualquer conselho sobre as características que devo procurar ao escolher um ATP, ou qualquer outro conselho que você possa ter depois de ler esta pergunta, será muito apreciado. Para referência, aqui está uma página de amostra do livro. Infelizmente, como o PM, está na notação Peano-Russell.

O livro -

"O método axiomático em biologia" (1937), JH Woodger, A. Tarski, WF Floyd

Os axiomas começam com o mereológico. Por exemplo,

$x$$\alpha$$\alpha$$x$$y$$x$$z$$\alpha$$y$

$$S{ = }_{ Df }\hat { x } \hat { \alpha } \{ \alpha \subset \vec { { P }^{ ‘ } } x:.(y):yPx.\supset .(\exists z).z\in \alpha .\vec { { P }^{ ‘ } } y\cap \vec { { P }^{ ‘ } } z\neq \Lambda \}$$

Novamente, observe que essa é a notação de Peano-Russell (a notação de Principia).

Axiomas posteriores têm conteúdo biológico, como

7.4.2 Quando gametas de dois membros de uma classe Mendeliana se unem em pares para formar zigotos, a probabilidade de qualquer par se unir é igual à do outro par.

Pelo que entendi, isso era um postulado da genética mendeliana.

Omiti a notação disso, porque tem três linhas e se baseia em conteúdo definido anteriormente.

Exemplo de um teorema -

Aparentemente, isso carrega uma interpretação significativa na genética mendeliana, que, não sendo historiador da biologia, eu não entendo. No livro, foi deduzido à mão.

Obrigado!

Principia Mathematica foi uma grande resposta aos vários paradoxos descobertos na lógica matemática na virada do século XX. No entanto, o trabalho em si, que muitas vezes tem sido obliquamente elogiado como uma "obra-prima ilegível", é um pouco desajeitado e fundações mais modernas foram criadas. Para descrever a maior parte da matemática, você tem várias opções: a teoria das categorias é uma, a teoria dos tipos tem sido popular em alguns projetos como uma extensão do cálculo lambda, mas a mais bem compreendida e fundamental é provavelmente a teoria dos conjuntos.

A teoria dos conjuntos tem várias formulações diferentes; A teoria dos conjuntos de Zermelo Frankel, com o axioma da escolha, é a mais ortodoxa, carinhosamente referida como pelos entusiastas da teoria dos conjuntos. A teoria dos conjuntos de Tarski-Grothendiek é outra amplamente semelhante ao que inclui o axioma de Tarski para raciocinar sobre grandes categorias. Isso é interessante para verificação, mas um pouco mais difícil para a prova automatizada de teoremas, porque o esquema de substituição de axiomas admite um número infinito de axiomas que representam um desafio para implementação. Embora essas fundações sejam perfeitamente razoáveis ​​para sistemas de verificação de provas, como Mizar para Tarski-Grothendiek, teoria dos conjuntos e Metamath para$\sf ZFC$$\sf\ ZFC$$\sf ZFC$, para um sistema real de prova de teoremas, seria bom ter axiomatização finita.

A base provavelmente mais apropriada para isso é a teoria dos conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, ou , que admite axiomatização finita por ser uma teoria de duas classes que possui uma ontologia de classes e conjuntos adequados. Além disso, ficou provado que é uma extensão conservadora de , de modo que qualquer teorema de é um teorema deN B G Z F C N B G Z F $\sf NBG$$\sf NBG$$\sf ZFC$$\sf NBG$$\sf ZFC$. A razão pela qual essa teoria é a mais apropriada para o raciocínio automatizado, na minha opinião, é expressável em lógica de primeira ordem, que admite um cálculo de prova eficaz, sólido e completo, e axiomatização finita significa que ela pode ser usada com resolução de primeira ordem, que nos fornece a resultado organizado: se uma declaração for decidida, uma prova será encontrada.

A lógica proposicional não é expressiva o suficiente, e a lógica de ordem superior, embora muito mais expressiva, não admite um cálculo de prova eficaz, sólido e completo. A lógica de primeira ordem com a teoria dos conjuntos permite representar e mapear teorias lógicas de ordem superior, portanto, para fundações esse é o ponto ideal ... exceto a possibilidade de declarações indecidíveis (graças a Gödel.) E é por isso que as teorias de primeira ordem com classificação quantificadora suficiente são frequentemente descritos como semi-decidíveis.

Art Quaife fez algum trabalho sobre isso em: Desenvolvimento automatizado de teorias matemáticas fundamentais, onde implementou na lógica de primeira ordem em forma de oração, para que pudesse ser usado por um provador de teoremas baseado em resolução (Otter) e uma excelente referência para abordar as bases para esse tipo de trabalho são a Introdução à lógica matemática de Elliott Mendelson .$\sf NBG$

Agora, os assistentes de prova modernos geralmente se preocupam menos com os fundamentos do paradigma da Principia Mathematia e são mais úteis para a comprovação de teoremas para o trabalho cotidiano e, portanto, têm algum suporte para fragmentos de lógica de ordem superior, resolução de SAT / SMT, teorias de tipos e outros abordagens mais informais e menos fundamentais. Mas se você está tentando fazer algo como o Principia Mathematica, é ideal um provador de teoremas de resolução de primeira ordem com uma teoria de conjuntos de primeira ordem finamente axiomatizável.

Para alguns exemplos de como os provadores de teoremas automatizados atacam os problemas dessas fundações, o site TPTP (Milhares de problemas para provedores de teoremas ) tem um bom número de problemas e você notará que muitos dos problemas fundamentais da teoria dos números são encontrados em teoria dos conjuntos . Se você tiver tempo, confira NUM006-1.p no site: a conjectura de Goldbach. Você pode tentar executá-lo, e se o seu decidable, uma prova vai finalmente ser encontrada.$\sf NBG$

Os teoremas de seu livro quase certamente serão teoremas de vez que foram escritos na linguagem da teoria dos conjuntos. Os axiomas da genética nesse livro quase certamente serão representados como definições em predicados teóricos definidos, da mesma forma que a aritmética Peano é representada em como definições de predicados. A partir daí, você segue o procedimento de resolução em qualquer ATP. Escolha uma afirmação que deseja provar, negue-a, converta para a forma normal de Skolem, depois para a forma de oração e siga a resolução. Quando você encontra a cláusula vazia, encontrou uma contradição, comprovando a afirmação.N B $\sf NBG$$\sf NBG$

A tarefa que você tem em mãos, se quiser tentar definir a teoria em termos da teoria dos conjuntos, é encontrar as definições de predicado relacional separadas da teoria dos conjuntos, que permitirão que você faça os predicados em termos da teoria dos conjuntos. Novamente, um exemplo disso é como definimos a aritmética Peano na teoria dos conjuntos, que por si só não possui definições de números, adição, multiplicação ou mesmo igualdade. Como exemplo de uma definição teórica definida de uma relação como igualdade, podemos defini-la em termos de associação como tal:

∀ ∈ ↔ ∈ $\forall$ xy ( z (z x z y) x = y)$\forall$$\in$$\leftrightarrow$$\in$$\leftrightarrow$

Um bom aviso: a curva de aprendizado para isso é realmente muito acentuada. Se você pretende fazer isso, pode se encontrar vários anos antes de entender o problema completo, como foi minha experiência. Você pode examinar a teoria de uma abordagem menos fundamental antes de assumir a enorme tarefa de incorporá-la em uma linguagem básica para tudo. Afinal, você não precisa necessariamente raciocinar sobre conjuntos incontáveis ​​de genes misturados.

Vários pontos:

1. Até onde eu sei, o Principia Mathematica usa essencialmente uma formalização da teoria dos conjuntos usando uma lógica de primeira ordem digitada. Portanto, seria tentador usar um provador de teoremas automatizado de primeira ordem como o Prover 9 ou possivelmente o ACL2 para formalizar suas declarações. No entanto, estou vendo várias construções da teoria dos conjuntos (como , ), que geralmente não funcionam muito bem com o ATP de primeira ordem.∩ , $\in$$\cap, \subset$

2. Qualquer assistente de prova interativo moderno certamente terá a expressividade para formalizar e provar suas declarações, como sugeriu Andrej. De fato, uma vez que parece haver algumas afirmações incluindo aritmética, seria aconselhável usar um sistema como Isabelle , Coq ou HOL que já possui teorias extensas para tratar afirmações aritméticas. Minha ênfase no moderno não é uma coincidência: grandes avanços na usabilidade foram feitos desde a Automath, e eu sinceramente acho que você faria um desserviço usando algo que não foi desenvolvido ativamente desde os anos 90 (se você pudesse conseguir um trabalhar!)

3. Finalmente, ITP e ATP têm curvas de aprendizado bastante desafiadoras, e você não deve esperar poder inserir esses teoremas em um sistema como se estivesse escrevendo uma prova de . Espere frustração severa e perda de tempo, principalmente nos primeiros meses (sim, meses). Definitivamente, você precisa trabalhar com alguns tutoriais antes de chegar à formalização principal.$\LaTeX$