Quando GI polinomial implica GI colorido polinomial (borda)?

Cruzado do MO .

O isomorfismo do gráfico colorido (aresta) é GI, que preserva as cores (das arestas, se for colorido).

Existem várias reduções usando transformações / dispositivos de GI colorido (borda) em GI. Para GI colorido de borda, o mais simples é substituir a borda colorida por um dispositivo de preservação de GI que codifica a cor (subdividir a borda o suficiente vezes é o caso mais simples). Para GI colorido de vértice, anexe um gadget a um vértice.

Suponha GI é polinomial para alguns classe gráfico . $C$

Q1 Para qual GI polinomial implica GI colorido polinomial (borda)? $C$

Usando uma redução com aparelhos pode fazer os gráficos não membros da . $C$

Por outro lado, certos dispositivos / transformações podem tornar os gráficos membros de alguma outra classe GI polinomial.

Exemplo de redução da cor da aresta . $G \to G'$

Faça um clique de . Bordas coloridas em com e sem bordas com . É a função de coloração que preserva e, para recuperar de basta pegar as bordas coloridas . é clique, cografia, gráfico de permutação e quase certo em muitas outras classes interessantes. Subdividir as arestas número ímpar de vezes (distinto para remove as cores e torna o gráfico bipartido perfeito, preservando o isomorfismo). $V(G)$ $E(G)$ $1$ $0$ $G$ $G$ $G'$ $1$ $G'$ $0,1$ $G'$

Talvez outra abordagem seja pegar o gráfico de linhas de e adicionar vértices pendentes (universais) conectados aos vértices correspondentes a . $G'$ $E(G')$

Q2 Existem gadgets / transformações agradáveis para construções semelhantes?

Pensou em aplanar , escolhendo algum desenho universal da camarilha e substituindo cruzamento de borda de dispositivos planares preservando cores dizer de cores iguais e algo mais para cores distintas. Não sei se isso preserva o isomorfismo. $G'$ $C_4,C_6$

Outra abordagem possível pode ser o automorfismo preservar a coloração ou subdividir todas as arestas de , usar 3 cores para os vértices e tentar reconhecer gráficos auto-complementares por automorfismo trocando e . $K_n$ ${0,1,2}$ $V(G),E(G),E(\overline{G})$ $E(G)$ $E(\overline{G})$

Q3 O grupo automorfismo da subdivisão de tratável para computação? $K_n$

Os pedidos após os poucos termos iniciais são que é A052565 $12 , 24 , 120 , 720 , 5040 , 40320 , 362880$

Dima sugere que isso pode ser fácil para grandes o suficiente e os termos iniciais são exceções. $n$

Q4 Dada a subdivisão colorida de vértice de para e seu grupo automorfismo, onde os vértices de alto grau são coloridos , alguns graus são e outros , qual é a complexidade de encontrar as trocas e automorfismo ? $K_n$ $n > 4$ $0$ $2$ $1$ $2$ $1$ $2$

Foi adicionado o artigo Sobre o reconhecimento de gráficos de Cayley, p. 86 :

Dada uma classe C de gráficos de Cayley e dado um gráfico colorido G de n vértices e m arestas, estamos interessados no problema de verificar se existe um isomorfismo φ preservando as cores de modo que G seja isomórfico de φ a um gráfico em C colorido pelos elementos do seu grupo gerador. Neste artigo, apresentamos um algoritmo de tempo O (m log n) para verificar se G é isomórfico de cor para um gráfico de Cayley.

Isso parece próximo à pergunta, é relevante?

graph-theory graph-isomorphism automorphism

— joro
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Existe relação com os hipergráficos. A borda colorida (u, v, c) pode ser tratada como hiper-borda e há um hipergrafo de redução no gráfico.

— Joro

Respostas:

Q2: um bom exemplo é o gadget de rotulagem de gráfico usado para provar que:

Teorema : IG planar colorido com 3 conexões IG planar com 3 conexões $\leq_T^L$

Veja Thomas Thierauf, Fabian Wagner: o problema do isomorfismo para gráficos planares com 3 conexões está em um espaço de registro inequívoco. Teoria Comput. Syst. 47 (3): 655-673 (2010)

O "gadget de identificação" usado preserva as restrições de 3 conectividade e planaridade.

— Marzio De Biasi
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Obrigado. E as outras perguntas?

— Joro

@joro: vou pensar no terceiro e quarto trimestres; para Q1, acho que - talvez - seja mais interessante perguntar "Para qual GI polinomial C não implica (ou é desconhecido se isso implica ...) GI colorido polinomial (borda)?" (porque para muitas classes de gráfico para os quais GI é polinomial solúvel tempo, vértice simples / rotulamentos borda não coloque os gráficos de

)

C

$\mathcal{C}$

— Marzio De Biasi

Re Q1: se você achar a pergunta interessante, faça-a. Ou talvez edite esta pergunta com o Q1.1 atribuído a si mesmo. Alguns pensamentos enquanto toma cerveja :). O gráfico colorido (borda) aparece trivialmente hipergráfico para mim. O HGI é tão fácil quanto o IG através da redução IIRC. Alguns casos de automorfismos restritos são NP-completos e alguns são polinomiais IIRC.

— Joro

Foi adicionado um documento na pergunta que pode ser relevante.

— Joro

Resposta parcial, não entendo teoria de grupo suficiente, mas dois artigos parecem dar resultados parciais.

$G \to G'$

$V(G)$ $e \in E(G')$ $1$ $e \in E(G)$ $0$ $G$ $G'$ $1$

$G \cong H \iff G' \cong H'$

$G'$

Este artigo afirma:

$O(n^2 (\log n)^6 )$ $n$

A definição exata de "cor da borda" não está clara para mim.

O documento que prova que a GI circulante é polinomial em uma nota de rodapé na p.1:

Por gráfico, queremos dizer um gráfico comum, um dígrafo ou mesmo um gráfico colorido de borda

Perguntado no MO quais são as restrições para os corantes.

— joro
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