Conjuntos de graus para gráficos de extensão linear

Uma extensão linear de um poset é uma ordem linear nos elementos de , de modo que em implica em para todos os . $L$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $L$ $x,y\in\mathcal{P}$

Um gráfico de extensão linear é um gráfico no conjunto de extensões lineares de um poset, onde duas extensões lineares são adjacentes exatamente se elas diferem em uma troca adjacente de elementos.

Na figura a seguir, há o poset conhecido como poset e seu gráfico de extensão linear, onde . $N$ $a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

texto alternativo (Esta figura é retirada do trabalho .)

Ao estudar gráficos de extensão linear (LEG), você pode ter uma idéia (conjectura) de que se - grau máximo de uma LEG, - respectivamente, grau mínimo, o conjunto de graus de qualquer LEG consiste em e cada número natural entre eles. Por exemplo, vamos pegar um poset, conhecido como chevron, e em seu LEG com e e também, de acordo com de acordo com nossa conjectura, os vértices com os graus 4 e 3 estão contidos no gráfico. Então, a questão é: podemos provar ou refutar essa conjectura? $\Delta$ $\delta$ $\Delta,\delta$ $\mathcal{G}$ $\Delta(\mathcal{G})=5$ $\delta(\mathcal{G})=2$

Sobre pernas e como é que eles se parecem se pode ler na dissertação de Mareike Massow aqui . A Chevron e sua LEG podem ser vistas na página 23 da dissertação.

Nos conjuntos de graus existe o artigo clássico " Conjuntos de graus para gráficos " de Kapoor SF et al.

graph-theory co.combinatorics

— Oleksandr Bondarenko
fonte

o que é um gráfico de extensão linear? isto é, você pode dobrar a definição na pergunta para que ela fique um pouco mais independente?

— Suresh Venkat

Essa conjectura é fofa. Existe alguma motivação ou aplicações conhecidas para a conjectura? (Diga reduções para outras conjecturas.)

— Hsien-Chih Chang · 15/11

@ Hsien-Chih Chang A motivação para essa conjectura é que, ao provar isso, conheceremos o conteúdo do grau estabelecido apenas conhecendo os graus máximo e mínimo de um determinado gráfico de extensão linear.

— Oleksandr Bondarenko

Acho que provei ontem. Assim, aqui vai o esboço da prova. A princípio, o seguinte lema é comprovado.

Lema . Seja - uma ordem parcial, - seu gráfico de extensão linear e - dois vértices adjacentes de . Então . $\mathcal{P}$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $G(\mathcal{P})$ $|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

O esboço da prova.

Ao mesmo tempo, são extensões lineares de modo que um deles, digamos , pode ser transformado em por uma transposição de elementos adjacentes (transposição adjacente). É fácil ver (considere, por exemplo, e da figura acima) que qualquer elemento de qualquer extensão linear pode alterar o número de elementos adjacentes incomparáveis em no máximo dois: $v_1,v_2$ $\mathcal{P}$ $v_1$ $v_2$ $d$ $e$ $x_i$ $L=x_1x_2\dots x_n$

Se pode ser transposta em tudo, então pelo menos um seu vizinho, dizem , é incomparável a ele ( , se comparável, em seguida, ). Nota: antes da transposição, temos e imediatamente após - $x_i$ $x_{i+1}$ $x_i\parallel x_{i+1}$ $x_i\perp x_{i+1}$ $L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$ . $L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
Vamos considerar como o número de incomparabilidades (grau da extensão linear como o vértice em ) em pode mudar. Consideramos inicialmente o par . Para a mesma conclusão segue por simetria. $G(\mathcal{P})$ $L$ $x_ix_{i+2}$ $x_{i-1}x_{i+1}$

Se , então não muda. Se , então $x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ $deg(L)$ $x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ aumenta (diminui) em um. O esboço da prova está completo. $deg(L)$

Teorema . Seja - um gráfico de extensão linear. Se contém os vértices com , então existe tal que $G(\mathcal{P})$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $v_3\in G(\mathcal{P})$ . $deg(v_3)=k+1$

O esboço da prova.

Suponha que sejam adjacentes em , caso contrário, qualquer vértice com grau em é adjacente a algum vértice, se existir, com o grau . $v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $G(\mathcal{P})$ $k$ $G(\mathcal{P})$ $k+1$

Vamos considerar o caso em que temos do lema anterior, de modo que $L_1,L_2$

x_{i + 1} ⊥ x_{i + 2} \land x_{i} ∥ x_{i + 2},

$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$

x_{i - 1} ⊥ x_{i} \land x_{i - 1} ∥ x_{i + 1},

$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$

Assim, . $deg(L_2)=deg(L_1)+2$

Vamos agora começar a transpor na direção de . É fácil ver que, eventualmente, poderíamos parar na posição em que $x_{i+1}$ $x_1$

para alguns . O esboço da prova está completo.

x_{j} ⊥ x_{i + 1} \land x_{i + 1} ∥ x_{j + 1},

$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$

j < i - 1

$j<i-1$

— Oleksandr Bondarenko
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x \sim y

$x \sim y$

x

$x$

y

$y$

v_{1}, v_{2}

$v_1,v_2$

x ⊥ y

$x\perp y$