Para designam por o menor elemento de .
Para dois conjuntos de elementos , , dizemos que se para cada .
Um -uniform hipergrafo é chamado uma cadeia turno , se por qualquer hiperarestas, , temos ou . (Portanto, uma cadeia de turnos tem no máximo hiperedges.)
Dizemos que um hipergrafo é bicolor (ou que possui a Propriedade B) se pudermos colorir seus vértices com duas cores, de modo que nenhuma hiper-borda seja monocromática.
É verdade que as cadeias de mudança são bicolores se for grande o suficiente?
Observações A primeira vez que publiquei esse problema no mathoverflow , mas ninguém comentou.
O problema foi investigado no 1º Workshop Emlektabla para obter alguns resultados parciais, consulte o livreto .
A questão é motivada pela decomposição de múltiplas coberturas do avião por traduções de formas convexas; existem muitas questões em aberto nessa área. (Para mais, veja minha tese de doutorado .)
Para existe um contra-exemplo trivial: (12), (13), (23).
Um contra-exemplo muito mágico foi dado para por Radoslav Fulek com um programa de computador:
(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),
(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789).
Se permitirmos que o hipergrafo seja a união de duas cadeias de mudança (com a mesma ordem), existe um contraexemplo para qualquer .
Atualizar. Recentemente, consegui mostrar que uma versão mais restrita das cadeias de turnos é bicolor nesta pré-impressão .
Recompensa permanente! Estou feliz em conceder uma recompensa de 500 por uma solução a qualquer momento!