Restrição teórica de grafos a Provas na Teoria da Complexidade de Provas

A complexidade da prova é uma área mais básica da teoria da complexidade computacional. Um objetivo final dessa área é provar , ou seja, qualquer provador não pode dar uma prova de insatisfação de determinada fórmula de entrada. $NP\neq coNP$

Um gráfico é um modelo formal de provas. Minha pergunta é sobre outras restrições a esse modelo.

Uma prova é representada como um DAG. Nós com fan-in 0 possuem rótulos de axioma. O nó exclusivo com fan-out 0 corresponde a "false". Para determinadas regras de dedução de entrada, cada nó que possui grau e grau externo tem o rótulo que representa a proposição.

Minha pergunta é:

Existem sistemas de prova e pesquisas relacionadas no caso de a classe de DAGs de prova ser restrita? Artigos, pesquisas e notas de aula são bem-vindos.

Os Sistemas de Prova estudados anteriormente, como Nullstellensatz, Resolução, LS, AC0 Frege, RES (k), Caluculus Polinomial e Planos de Corte, possuem alguma caracterização teórica gráfica?

A restrição mais natural à prova de DAG é que ela é uma árvore - ou seja, qualquer "lema" (conclusão intermediária) não é usado mais de uma vez. Essa propriedade é chamada de "árvore". A resolução geral é exponencialmente mais poderosa que a resolução de árvore, como mostra, por exemplo, Ben-Sasson, Impagliazzo e Wigderson . O conceito também foi considerado para outros sistemas de prova - basta procurar por "X em forma de árvore", onde X é um sistema de prova interessante para você. No caso específico da resolução, há outras restrições que podem ser consideradas. Veja, por exemplo, um artigo de Alekhnovich, Johannsen, Pitassi e Urquhart sobre resolução regular.

A resolução tipo árvore é especialmente importante, pois as implementações tradicionais do DPLL correspondem a refutações de resolução tipo árvore. A técnica de aprendizado por cláusula, que é importante na prática, corresponde a permitir DAGs gerais. Portanto, a estrutura do DAG de prova também depende fortemente do algoritmo que o gera.

Müller e Szeider estudam provas de resolução em que o DAG da prova delimita a largura da árvore ou a largura do caminho delimitado (para extensões adequadas dessas medidas de complexidade de gráficos em gráficos direcionados).

Eles mostram que a largura do caminho do DAG é essencialmente a mesma que a complexidade do espaço da prova e definem uma noção generalizada de espaço da prova que é equivalente à largura da árvore.

Para sistemas de prova suficientemente fortes, a representação gráfica de uma prova no sistema parece menos conseqüente, uma vez que (como Joshua Grochow já comentou), as provas de Frege do tipo DAG e do tipo árvore de Frege são polinomialmente equivalentes (consulte a monografia de Krajicek, de 1995, para uma prova desse fato). )

Para sistemas de prova mais fracos, como resolução, o tipo árvore é exponencialmente mais fraco que o tipo DAG (como Yuval Filmus descrito acima).

Beckmann e Buss [1] (seguindo Beckmann [2] ) consideraram restringir a altura (equivalentemente, profundidade) do gráfico de prova das provas de Frege de profundidade constante e investigaram a relação entre DAG, tamanho de árvore e altura de profundidade constante Provas de fraude. (Observe a distinção entre restringir a profundidade do gráfico de prova e restringir a profundidade de um circuito que aparece em uma linha de prova).

Também pode haver separações entre as provas Nullstellensatz (e cálculo polinomial), semelhantes a árvores e DAG, das quais atualmente não me lembro.