Curioso sobre as provas de completude NP assistidas por computador

No artigo "A COMPLEXIDADE DOS PROBLEMAS DE SATISFIABILIDADE", de Thomas J. Schaefer, o autor mencionou que

This raises the intriguing possibility of computer-assisted NP-completeness proofs. Once the researcher has established the basic framework for simulating conjunctions of clauses, the relational complexity could be explored with the help of a computer. The computer would be instructed to randomly generate various input configurations and test whether the defined relation was non-affine, non-bijunctive, etc.

Obviamente, isso é uma limitação:

The fruitfulness of such an approach remains to be proved: the enumeration of the elements of a relation on lO or 15 variables is Surely not a light computational task.

Estou curioso que

1. Existem pesquisas de acompanhamento no desenvolvimento dessa idéia de "provas de completude de NP assistidas por computador"? Qual é o estado da arte (pode ser específico para ou 3-Partition )? Como Schaefer propôs a idéia de prova de completude NP "assistida por computador" (pelo menos para reduções do SAT ), isso significa que existem alguns princípios / estruturas gerais subjacentes a essas reduções (para os da 3SAT ou da 3-Partition )? Se sim, o que são? $\textsf{3SAT}$$\textsf{3-Partition}$
   $\textsf{SAT}$$\textsf{3SAT}$$\text{3-Partition}$
2. Alguém tem experiência em provar a completude da PN com um assistente de computador? Ou alguém pode inventar um exemplo artificial?

Quanto à questão 2, existem pelo menos dois exemplos de provas -completeness que envolvem computador-assistente.$NP$

Erickson e Ruskey forneceram uma prova assistida por computador de que o Domino Tatami Covering é NP-complete. Eles reduziram o tempo polinomial de 3-SAT planar para cobertura de dominó de tatami. Um solucionador SAT (Minisat) foi usado para automatizar a descoberta de gadgets na redução. Nenhum outro prova -completeness é conhecido por ele.$NP$

Ruepp e Holzer provaram que o quebra-cabeça a lápis Kakuro é completo. Algumas partes do N $NP$$NP$ prova -completeness foram gerados automaticamente usando um sab de problemas (novamente Minisat).

Neste artigo, mostrei que, para alguns existe um gráfico com grau máximo ke força da aresta cromática estritamente maior que k , então é Θ p 2 completo para decidir se a força da aresta cromática é no máximo k . Tais gráficos eram conhecidos por k > 3 e fiz uma pesquisa no computador para encontrar um gráfico de 12- vértices adequado para k = 3 .$k\geq 3$$k$$k$$\Theta_2^p$$k$$k>3$$12$$k=3$

A complexidade da força cromática e da força cromática da aresta. Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

Do comentário acima:

Usei a biblioteca Choco Java para programação de restrições para verificar o comportamento correto dos gadgets usados ​​para comprovar a completude NP dos seguintes quebra-cabeças: quebra-cabeça binário, tendas, quebra-cabeça de cubo sem células livres, rede. Ainda não tive tempo de publicá-las, mas os rascunhos estão disponíveis no meu blog.

A técnica utilizada é semelhante: todos esses quebra-cabeças podem ser modelados como um gráfico de grade em que cada nó pode conter um elemento diferente (por exemplo, no quebra-cabeça binário, os elementos são: célula vazia, 0 fixo, 0 fixo, 1, 0, 1), as regras do puzzle permitir ou proibir algumas configurações (locais) (por exemplo, em não mais do que dois enigma binário s ou um s lado ou abaixo do outro são permitidos). Então, para provar a completude do NP, basta construir um gadget quadrado n × $0$$1$$n \times n$ que simule:

(A) uma porta lógica (AND + OR) e links, se quisermos usar PLANAR SAT como o problema do NPC de origem; ou

(B) um nó de grau 3 no qual exatamente 1 entrada e 1 saída podem ser ativadas ao mesmo tempo, se quisermos usar o CICLO HAMILTONIAN em gráficos de grade como o problema da NPC de origem (observe que, nesse caso, deve haver outro condição que força um "caminho conectado").

Nos dois casos, usamos uma configuração inicial que fixa os limites dos gadgets (para proibir interações indesejadas) e permitimos a interação entre dois gadgets adjacentes apenas por meio de um elemento central (ou grupo de elementos). A configuração desse elemento central deve representar um valor lógico no caso (A) ou uma travessia no caso (B).

Por exemplo, para modelar um AND:

***C***   *=fixed elements (initial config. of the puzzle)
*xxxxx*   x=internal logic (some elements can be fixed,
AxxxxxB     other must be completed/traversed)
*xxxxx*   A,B,C=elements shared with adjacent gadgets
*******

Nesse ponto, para verificar o gadget usando um solucionador SAT (é melhor usar uma CPL), basta implementar as regras do quebra-cabeça e verificar a satisfação quando A, B, C usam todas as combinações possíveis de valores; e veja se eles são consistentes com o comportamento desejado. Por exemplo, no caso AND, em todas as configurações válidas (satisfatórias) do gadget nas quais C é verdadeiro (C representa o valor lógico verdadeiro), ambos A e B devem ser verdadeiros.

Se os gadgets forem muito complicados (por exemplo, no quebra-cabeça Rolling cube), acho que é a única maneira de garantir que eles funcionem corretamente (e que a prova do NPC esteja correta).

Fiz exatamente isso - prova de completude de NP assistida por computador - em minha tese de bacharel!

A parte ruim - é em russo e não foi traduzido para inglês. http://is.ifmo.ru/diploma-theses/_dvorkin_bachelor.pdf

Eu trabalhei com portas lógicas em problemas 2D. O plano é:

• Projete manualmente a aparência de um "fio" no seu problema.
• Use uma pesquisa muito inteligente e otimizada (na verdade, programação dinâmica sobre conjuntos de perfis) para projetar automaticamente todos os portões lógicos necessários.
• LUCRO!

O código está disponível, a propósito: https://code.google.com/p/metadynamic-programming/

Dessa forma, com o trabalho manual apenas para projetar o fio e codificar as regras do problema 2D específico, pude provar a completude de NP de:

• Campo Minado
• Área de cobertura com dominós horizontais e verticais
• $k$$k \ge 4$$k \in [4,6]$

o questionador indicou que está de acordo com uma interpretação mais ampla da declaração de Schaefer em uma resposta. por coincidência, colecionamos links para um blog sobre um tópico próximo e escreveremos alguns aqui.

a afirmação original (seção 7 p225) é clara em suas intenções, como ilustrado no exemplo de uma redução completa de NP de 2 emparelhamento perfeito com cor 7.1, usando a "dicotomia thm" 2.1.

então a ideia dele é que alguém tenha algum algoritmo $F(x)$que gera cláusulas SAT, e a priori não conhece a estrutura geral dessas cláusulas, e que é possível gerar fórmulas de amostra e examinar sua estrutura de cláusulas para ver como elas se relacionam com a dicotomia thm. a ideia é um esboço e omite alguns detalhes porque, obviamente, mesmo que todo o conjunto finito de amostras adira a alguma regra, não é uma prova. ou seja, não é automatizado, mas "assistido por computador". (análise / interpretação humana é necessária).

Schaefer também se refere à geração aleatória de várias configurações de entrada, ou seja, exame de amostras$F(x)$ aleatoriamente $x$.

vendo um ponto de vista amplo, pode-se ver que essas idéias gerais cresceram e foram exploradas em muitas áreas de pesquisa desde essas reflexões / "idéias de sementes" de 1978, levando a grandes ramos e programas de pesquisa inteiros, ainda em andamento, nenhum dos quais existia quase sob qualquer forma no momento da redação do trabalho de Schaefers. 1 ^r uma ideia geral é a análise empírica de NP propriedades integralidade via geradores de instância / agentes de resolução / analisadores .

• a maior área de pesquisa gerada aqui é sobre instâncias SAT aleatórias e analisando o desempenho do solucionador SAT nelas, o que levou à descoberta do ponto de transição em meados da década de 90, posteriormente demonstrado ter conexões profundas com a física estatística e um aspecto aparentemente onipresente / intrínseco / fundamental / característica de todos os problemas completos de NP. existem muitos artigos nessa área e agora alguns livros. veja, por exemplo , Informação, física e computação Mezard / Montanari

• Decompondo problemas de satisfação ou Usando gráficos para obter uma melhor compreensão dos problemas de satisfação , Herwig 2006 (83pp). essa é uma abordagem um tanto nova em outras pesquisas publicadas que analisam a estrutura do gráfico de cláusulas variáveis ​​das instâncias SAT geradas e analisam sua estrutura / métrica para encontrar correlações com dureza.

• é possível pegar problemas difíceis conjecturados e codificá-los como instâncias SAT e, em seguida, examinar sua estrutura ou executar resolvedores SAT neles e observar o comportamento dinâmico dos solucionadores SAT. não é fácil descobrir quando isso foi feito pela primeira vez, mas é um caso inicial de fatoração, provavelmente em meados da década de 1990, e esses casos apareceram nos concursos do DIMACS SAT solver. infelizmente, isso não foi necessariamente considerado separadamente resultados de pesquisa publicáveis ​​na época. existem alusões em alguns documentos do SAT.

  veja, por exemplo, Satisfazer isto: uma tentativa de resolver a fatoração primária usando solventes de satisfação de Stefan Schoenmackers, Anna Cavender e também cs.se question reduzir o problema de fatoração de número inteiro para o problema completo de NP & (existem algumas outras questões relacionadas / dispersas (T) CS isto).

2 ^nd outra idéia / semente geral moderno inerente Schaefers velha afirmação é atacar problemas difíceis algorítmicos ou matemáticos em geral, convertendo-os a instâncias do SAT, e usando off-the-shelf (mas state-of-the-art) solucionadores SAT (ie A solução SAT pode ser vista como literalmente um dos primeiros casos em lógica / matemática do teorema automatizado por computador, provando que as soluções de fórmula SAT são como "teoremas", embora seja certo que o ponto de vista moderno que pode ter mudado um pouco) e há alguns recentes notáveis sucessos nesta frente.

• o problema da discrepância de Erdos relacionado a limites em passeios aleatórios é muito difícil e o progresso foi limitado com abordagens analíticas, e uma abordagem empírica nova / sem precedentes com o SAT foi adotada recentemente para obter alguns resultados importantes em um problema aberto relacionado, comemorado por muitos como um verdadeiro avanço. um ataque SAT à conjectura de discrepância de Erdos Konev, Lisitsa

• as pesquisas sobre redes de classificação ideais remontam a décadas e existem problemas naturais de abertura em tamanhos mínimos de redes para classificar um determinado número de elementos. Nos últimos anos, houve um grande progresso recente na conversão dessas instâncias para SAT e na execução de soluções padrão. Novos limites para redes ótimas de classificação Ehlers, Müller, também cita outros trabalhos recentes.