Vou elaborar meus comentários em uma resposta. As origens da teoria do tipo predicativo são quase tão antigas quanto a própria teoria do tipo, uma vez que uma das motivações de Russel era proibir definições "circulares" que foram identificadas como parte da fonte das inconsistências e paradoxos do século XIX. Thierry Coquand fornece uma visão geral esclarecida aqui . Nessa teoria, os predicados sobre um "nível" ou tipo pertencem aos tipos do nível "próximo", onde há um número infinito (contável) de níveis.
Embora a hierarquia predicativa de Russel fosse (aparentemente) suficiente para descartar os paradoxos conhecidos, ela se mostrou muito difícil de usar como sistema fundamental. Em particular, definir mesmo algo tão simples quanto o sistema de números reais era extremamente difícil e, portanto, Russel postulou um axioma, o Axioma da Redutibilidade, que postulava que todos os níveis eram "reduzidos" a um. Escusado será dizer que este não foi um desenvolvimento satisfatório.
No entanto, ao contrário das declarações impredicativas "prejudiciais" (como a compreensão irrestrita), esse axioma não parecia apresentar nenhuma inconsistência. As formulações subsequentes das teorias fundamentais ( teoria dos tipos simples , a teoria dos conjuntos de Zermelo ) as aceitaram por atacado, transformando famílias de predicados (quantificando possivelmente todo o universo de conjuntos), predicados no mesmo nível.
Por volta de 1971, Martin-Löf introduziu a teoria do tipo dependente, na qual esse princípio e o axioma adicional se Type : Type
mantêm. Esse sistema acabou sendo inconsistente por razões sutis: o paradoxo ingênuo de Russel não pode ser reproduzido (de maneira direta), mas uma codificação inteligente, no entanto, permite encontrar uma contradição. Isso levou a uma crise de fé semelhante à de Russel, resultando na teoria do tipo predicativo com universos que conhecemos e amamos.
Existe uma maneira de reparar a teoria para permitir impredicativo "inocente" a la teoria dos conjuntos Zermelo, resultando em teorias do tipo como o Cálculo de Construções, mas o estrago estava feito, e a "escola sueca" da teoria tipo tende a rejeitar impredicativo.
Vários pontos:
O que isso tem a ver com a matemática intuicionista? A resposta não é muita. Na virada do século XX, os matemáticos tendiam a confundir o uso de princípios circulares / impredicativos com o raciocínio não construtivo (a intuição é que o raciocínio impredicativo parece assumir um universo matemático preexistente , assim como os usos do meio excluído). No entanto, existem teorias impredicativas perfeitamente intuicionistas (como a IZF ). Pessoas interessadas em intuicionismo ainda tendem a se interessar em predicativismo por algum motivo (sou culpado disso, é claro).
O que você pode fazer em matemática predicativa? Como Martin aponta em sua resposta, Hermann Weyl (que não deve ser confundido com Andre Weil) iniciou um programa que tentou explorar o poder expressivo dos sistemas predicativos, tomando como ponto de partida que os sistemas predicativos eram de força expressiva entre a Aritmética Peano e a Segunda Ordem. Aritmética , que é bastante aceita como impredicativa pela maioria dos padrões (e é comparável ao Sistema F no lado da teoria dos tipos). O programa foi posteriormente apelidado de "matemática reversa", pois tentava classificar a força dos teoremas matemáticos conhecidos em termos dos axiomas necessários para prová-los (o inverso da abordagem usual). oa página da Wikipedia fornece uma boa visão geral; o programa foi bastante bem-sucedido, pois a maior parte da matemática do século XIX pode ser facilmente acomodada em sistemas muito fracos. Ainda é uma questão em aberto se esse programa pode ser dimensionado para resultados mais recentes, digamos, na teoria das categorias mais altas (a suspeita é que a resposta seja "sim, com grande esforço").