Técnicas espectrais para gênero de um gráfico

Uma pergunta genérica: existem técnicas espectrais para estimar o gênero de um gráfico? Estou interessado em gráficos bipartidos.

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— T ....
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Você poderia fornecer algum histórico?

— Mohammad Al-Turkistany

Eu acho que é uma pergunta genérica. Quantas alças precisamos incorporar um gráfico de maneira não interceptada. Curioso se as técnicas da Lapônia puderem estudar isso?

— T ....

Obrigado Arul, Você poderia adicioná-lo à sua pergunta?

— Mohammad Al-Turkistany

Talvez você esteja interessado em uma publicação relacionada no MO: mathoverflow.net/questions/54395/… .

— Hsien-Chih Chang # 5/02

Respostas:

$\rho(G)$

Raio espectral de gráficos planares finitos e infinitos e de gráficos do gênero delimitado , Zdenek Dvorak e Bojan Mohar, JCTB 2010.

$g$

$g$ $\rho(G) = \sqrt{8\Delta(G)} + O(\sqrt{g} \log g)$ $\Delta(G)$ $G$

Podemos usar isso para estimar um limite inferior para o gênero de um gráfico, se o raio espectral do gráfico for grande o suficiente. Para um limite mais preciso da constante big-O, consulte o documento.

A propriedade como sendo um gráfico bipartido parece ajudar pouco aqui. Eles são capazes de fornecer uma instância bipartida em que a desigualdade nos gráficos planares é a melhor possível.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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Na verdade, o termo de erro na fórmula é interessante - tem uma expressão semelhante ao número de primos do termo de erro menor que um determinado número no GRH.

— T ....

Mas não fornece a estimativa para o gênero. Ele fornece estimativa para o raio espectral.

— T ....

Temos que usá-lo ao contrário. Se o raio espectral for grande o suficiente, sabemos que o gênero deve ser grande. Se você está perguntando sobre gênero nos limites superiores, deve declarar na pergunta.

— Hsien-Chih Chang #

Eu pensei que a pergunta era clara "... estimar o gênero ..."

— T ....

Mas eu pensei que o raio espectral é o maior autovalor da matriz de adjacência, que é fácil de calcular. Em suma, isso soa como uma resposta bastante decente.

— Suresh Venkat

$O(n^\epsilon)$ $O(g\sqrt{n})$ $\max\{4g, g+4n\}$ $g$ $n$

Veja: Jianer Chen, Saroja P. Kanchi e Arkady Kanevsky. Uma observação sobre o gênero gráfico aproximado . Information Processing Letters 61 (6): 317–322, 1997.

— Jeffε
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Isso também é válido para gráficos bipartidos?

— T ....

O resultado da dureza deve ser verdadeiro para gráficos bipartidos, pois qualquer gráfico pode ser bipartido, introduzindo um novo vértice em cada aresta. Parece realmente improvável que ser bipartido ajudaria no algoritmo.

— Jeffε