A complexidade desse problema de cobertura é conhecida?

Seja um gráfico. Um conjunto vértice é chamado crítico se e nenhum vértice em é adjacente a exatamente um vértice em . O problema é encontrar um conjunto vértice de tamanho mínimo de tal modo que para cada conjunto crítico . $G=(V,E)$ $X\subseteq V$ $X\neq\emptyset$ $V\setminus X$ $X$ $S\subseteq V$ $S\cap X\neq\emptyset$ $X$

O problema tem a seguinte interpretação de espalhar o boato : O vértice espalha o boato ao seu vizinho se e somente se todos os outros vizinhos de já estiverem informados. A questão é, então, quantos vértices tenho que informar inicialmente para garantir que todos sejam informados no final. $i$ $j$ $i$

— Thomas Kalinowski
fonte

Isso tem uma solução bastante simples, portanto, talvez o problema tenha mais condições do que o especificado; ignorando o caso especial

e, se

estiver ligado, a cada vértice

com grau

tem um conjunto crítico

associado com ele, de modo que apenas vizinhos de exclusivamente deg 1 vértices podem ser em

. Se esse vértice existe,

é um gráfico em estrela e seu centro (como um singleton) é o

mínimo único . Se

não estiver conectado, observe cada componente conectado.

X = V

$X=V$

G

$G$

v

$v$

> 1

$>1$

V ∖ {v}

$V\setminus\{v\}$

S

$S$

G

$G$

S

$S$

G

$G$

— 21715 Joe

Para uma estrela

com

folhas, cada conjunto de duas folhas é crítico e, portanto, a solução ideal é obter

folhas.

K_{1, n}

$K_{1,n}$

n ⩾ 2

$n\geqslant 2$

n - 1

$n-1$

— 21415 Thomas Thomas Kalinowski

Oh, eu vejo a minha interpetation equivocada

— Joe Bebel

Pergunta muito interessante, uma pequena queixa: você provavelmente deseja exigir que seus conjuntos críticos não sejam vazios (caso contrário, não há

S

$S$

— Klaus Draeger

@ JoeBebel: O problema de decisão "Existe uma solução definida com tamanho

no máximo

?" está em NP. Você pode verificar se um conjunto

é uma solução pelo seguinte algoritmo. Enquanto não há um vértice

que tem exatamente na vizinha

fora

, adicione

. Se

contiver eventualmente todos os vértices, seu conjunto inicial será uma solução; caso contrário, você ficará paralisado e o complemento do conjunto final será um conjunto crítico; portanto, o

inicial não será uma solução.

S

$S$

K

$K$

S

$S$

v \in S

$v\in S$

w

$w$

S

$S$

w

$w$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Thomas Kalinowski

O problema é conhecido como problema de propagação . Aazami provou em sua tese de doutorado que a versão ponderada é NP-completa, mesmo quando o gráfico é plano e os pesos dos nós estão em . A complexidade da versão não ponderada parece ser um problema em aberto. $\{0,1\}$

— Thomas Kalinowski
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