Particionamento de arestas em triângulos arco-íris

Gostaria de saber se o seguinte problema é NP-difícil.

Insira: $G = (V,E)$ um gráfico simples e uma coloração $f : E \to \{1,2,3\}$ das arestas ( $f$ não verifica nenhuma propriedade específica).

Pergunta: é possível particionar $E$ em $|E|/3$ triângulos, de modo que cada triângulo tenha uma aresta de cada cor?

Sei que, sem as cores, o problema de "particionamento de arestas" de um gráfico em $K_n$ , é NP-difícil (consulte A NP-Completude de alguns problemas de partição de arestas ), mas com as cores que não conheço.$n \geq 3$

Eu também estaria interessado em um resultado para a particionamento da borda no arco-íris , com uma constante. Obviamente, neste caso, o problema se torna:$K_c$$c$

Entrada: um gráfico simples e uma coloração das arestas ( não verifica nenhuma propriedade específica) .f : E → { 1 , … , c ( c - 1 ) / 2 } $G = (V,E)$$f : E \to \{1,\ldots,c(c-1)/2\}$$f$

Pergunta: é possível particionar em ', de modo que cada clique tenha uma aresta de cada cor?| E | / ( c ( c - 1 ) / 2 ) K c K $E$$|E|/(c(c-1)/2)$ $K_c$$K_c$

Eu segui o link da pergunta, e a redução ali produz gráficos cujas bordas têm uma coloração natural, de modo que cada $K_n$ presente no gráfico é um "arco-íris $K_n$ " (tem exatamente uma borda de cada cor). Em outras palavras, podemos ajustar facilmente a redução nesse papel para reduzir ao seu problema, em vez de reduzir à partição para o problema de $K_n$ s: basta atribuir uma cor a cada borda de acordo com essa coloração natural e, em seguida, o gráfico pode ser particionado em "arco-íris $K_n$ s" se, e somente se, puder ser particionado em $K_n$ s.

A estrutura básica da redução nesse documento pode ser realizada com as três etapas a seguir:

1. Crie muitas cópias de um gráfico específico $H_{n,p}$ .
2. Identifique certas partes de algumas cópias de $H_{n,p}$ entre si (ou seja, mescle vértices / arestas entre várias cópias diferentes de $H_{n,p}$ ).
3. Remova certos vértices / arestas de algumas cópias.

O gráfico $H_{n,p}$ tem como vértices o conjunto de vetores comprimento $n$ módulo $p$ para o qual os componentes somam $0$ mod $p$ . As arestas conectam todos os dois vértices que diferem em apenas dois componentes com diferenças de $+1$ e $-1$ nesses dois componentes.

Proponho a seguinte coloração para este gráfico: atribua uma cor a cada aresta de acordo com sua direção. Se $x$ e $y$ são vértices adjacentes, então $x-y$ é um vetor com $n-2$ componentes iguais a $0$ , um componente igual a $1$ e um componente igual a $-1$ . Em outras palavras, para cada aresta $(x, y)$ existem ${n \choose 2}$ opções para as quais os componentes de$x-y$são diferentes de zero. Se atribuirmos uma cor exclusiva a cada uma dessas opções, teremos uma cor para todas as arestas, de modo que todas as arestas na mesma direção tenham a mesma cor. É bastante fácil para verificar que não há duas bordas em um$K_n$em$H_{n,p}$são na mesma direcção. Portanto, todo$K_n$em$H_{n,p}$é um arco-íris$K_n$sob essa coloração.

Quando seguimos a redução, usamos essa coloração para todas as cópias de $H_{n,p}$ . Portanto, no final da etapa 1 da lista acima, todo $K_n$ no gráfico é um arco-íris $K_n$ .

Na etapa 2 da lista acima, identificamos alguns vértices / arestas entre si. Em particular, na redução sempre identificamos um $K_n$ com outro $K_n$ . Mas nesta situação (onde toda a $K_n$ s são de uma cópia do $H_{n,p}$ ), cada $K_n$ ou é uma tradução do "padrão $K_n$ " qual o papel chama $K$ ou uma tradução de $-K$ . Portanto, estamos identificando dois $K_n$ s paralelos ou dois $K_n$s que são "flips" um do outro. Nos dois casos, as arestas identificadas nos dois $K_n$ s são paralelas e, portanto, têm a mesma cor. Por exemplo, veja a Figura 2 no documento; as arestas identificadas são sempre paralelas. Portanto, como nunca tentamos identificar duas arestas de cores diferentes, a coloração no final da etapa 1 da lista acima pode ser naturalmente estendida para uma coloração no final da etapa 2. Identificar certos vértices / arestas juntos não cria qualquer novo $K_n$ s, então ainda é o caso, no final desta etapa, de que cada $K_n$ é um arco-íris $K_n$ .

Finalmente no passo 3 que remover alguns vértices / bordas, que também não cria qualquer nova $K_n$ s. Assim, temos nossa propriedade desejada: sob a coloração que forneci, todo $K_n$ no gráfico gerado por essa redução é um arco-íris $K_n$ .