Que evidência há de que o isomorfismo de grafos não está em

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Motivado pelo comentário de Fortnow no meu post, Evidências de que o problema do isomorfismo do gráfico não é completo $NP$ e pelo fato de o ser um candidato principal ao intermediário do (não nem no ), estou interessado em evidências conhecidas que não é em . $GI$ $NP$ $NP$ $P$ $GI$ $P$

Uma dessas evidências é a completude de de um problema restrito de automorfismo de gráfico (o problema de automorfismo de gráfico livre de ponto fixo é completo). Este problema e outras generalizações do foram estudadas em " Alguns problemas completos de NP semelhantes ao isomorfismo do gráfico " por Lubiw. Alguns podem argumentar, como prova o fato de que, apesar de mais de 45 anos ninguém encontrou algoritmo de tempo polinomial para . $NP$ $NP$ $GI$ $GI$

Que outras evidências temos que acreditar que $GI$ não está em $P$ ?

cc.complexity-theory graph-isomorphism

— Mohammad Al-Turkistany
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O isomorfismo do subgrafo também é NP completo.

$\;$

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Uma evidência um pouco fraca é a crescente classe de problemas que equivalem ao espaço de registro em relação ao GI, mas nenhum deles parece ter algoritmos óbvios de politempo. (É claro que, se um deles tem um algoritmo polytime então tudo o que fazem.)

— András Salamon

evidência circunstancial semelhante a P vs NP: décadas de otimização de algoritmos GI, por exemplo, nauty que ainda tem tendências de pior caso não-P experimentalmente verificáveis, aparentemente principalmente em gráficos regulares aleatórios.

— vzn

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ver também gráficos rígidos para testes GI

— vzn

O que você pensa sobre isso? dharwadker.org/tevet/isomorphism

— Anna Tomskova 22/11

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Antes dessa pergunta, minha opinião era que o isomorfismo do gráfico poderia estar em P, ou seja, que não há evidências para acreditar que o IG não esteja em P. Então, perguntei-me o que seria uma evidência para mim: se houvesse algoritmos maduros para - isomorfismo de grupo que explorou completamente a estrutura disponível de grupos- e ainda não teria esperança de obter tempo de execução polinomial, então eu concordaria que a IG provavelmente não está em P. Existem algoritmos conhecidos que exploram a estrutura disponível, como o teste de isomorfismo para - grupos. de O'Brien (1994) $p$ $p$ $p$ , mas não o li em detalhes suficientes para julgar se explora completamente a estrutura disponível ou se há alguma esperança de melhorar esse algoritmo (sem explorar a estrutura não óbvia adicional de grupos- ) para obter o tempo de execução polinomial. $p$

Mas eu sabia que Dick Lipton pediu ação no final de 2011 para esclarecer a complexidade computacional do problema de isomorfismo de grupo em geral e do problema de isomorfismo de grupo especificamente. Então eu pesquisei por $p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

para verificar se o pedido de ação foi bem-sucedido. Era de fato:

A última postagem analisa um artigo que alcança o tempo de execução de para certas famílias importantes de grupos, explora grande parte da estrutura disponível e reconhece o artigo mencionado em 1994. Como o tempo de execução de vinculado é compatível com a experiência de que o isomorfismo de gráfico não é difícil na prática e com a experiência de que ninguém é capaz de criar um algoritmo de tempo polinomial (mesmo para o isomorfismo de grupo), isso pode ser contado como evidência de que GI não está em P . $n^{O(\log \log n)}$ $n^{O(\log \log n)}$

— Thomas Klimpel
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rjlipton.wordpress.com/2015/03/05/news-on-intermediate-problems também apareceu na minha pesquisa. Cita Teorema 2 Gráfico Isomorfismo é em . Além disso, todo problema de promessa em pertence a conforme definido para problemas de promessa. ${\mathsf{RP}^{\mathrm{MCSP}}}$ ${\mathsf{SZK}}$ ${\mathsf{BPP}^{\mathrm{MCSP}}}$ Isso é evidência de que o IG não é NP completo, mas essa não foi a questão aqui. Deixe-me acrescentar que não vejo nenhum problema com o tamanho ou o estilo da minha resposta, porque interpreto um pedido de evidência como um pedido de opinião fundamentada.

— Thomas Klimpel

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Eu não sigo o seu raciocínio. Como você pode saber que a "estrutura disponível" é "totalmente explorada"? De fato, o artigo de Grochow-Qiao não sugere que muito mais pode ser feito com as aulas de cohomologia?

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov Por "estrutura disponível", quero dizer o conhecimento sobre a estrutura na comunidade da teoria dos grupos, comunidades relacionadas e publicações existentes. Exemplos em que a estrutura não é "totalmente explorada" são publicações cujo principal objetivo é criar um algoritmo implementável prático, que, portanto, para em algum momento e apenas menciona as limitações restantes, sem indicações claras de que são fundamentais. O artigo de Grochow-Qiao analisou esses dados e atacou diretamente a complexidade computacional do isomorfismo de grupo; portanto, seus resultados fornecem boas evidências.

— Thomas Klimpel

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O menor conjunto de permutações que você deve verificar para verificar se não existem permutações não triviais em uma configuração de caixa preta é melhor que mas ainda exponencial, OEIS A186202 . $n!$

O número de bits necessário para armazenar um gráfico não marcado é de . Veja Naor, Moni. "Representação sucinta de gráficos gerais não rotulados." Discrete Applied Mathematics 28.3 (1990): 303-307. A prova do método de compressão é um pouco mais limpa, se bem me lembro. De qualquer forma, vamos chamada que definir . Deixe para gráficos rotulados. $log_{2}$ ${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$ $U$ $L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)

$U^L$ e se você converter para exponenciais. Apenas examinar suas assinaturas de tipo, colocando gráficos em formato canônico, parece mais fácil, mas, como mostrado acima, o GC facilita a IG. $Bool^{L^{L}}$

— Chad Brewbaker
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Obrigado. Quão forte é esse tipo de argumento?

— Mohammad Al-Turkistany

Existe uma referência a ser citada que documenta ainda mais essa conexão?

— vzn

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@ MohammadAl-Turkistany: Este é basicamente um argumento de complexidade de consulta. Mas algoritmos conhecidos, por exemplo, Babai-Luks 1983, já ultrapassam esse limite, acho que por uma margem bastante significativa (algo como versus ).

2^{n}

$2^n$

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

— Joshua Grochow 5/08/2015

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@ChadBrewbaker: Se sua preocupação está sendo codificada e a complexidade de casos médios, tenho certeza de que o nauty se sai significativamente melhor do que o seu algoritmo. (Observe que o limite inferior mais conhecido no nauty é (Miyazaki 1996), e um algoritmo de politempo foi encontrado para os gráficos de Miyazaki. Uma análise simples mostra um limite inferior de no seu algoritmo.) Além disso, GI está no tempo linear de casos médios (Babai-Kucera).

Ω (2^{n / 20})

$\Omega(2^{n/20})$

(3 / 2)^{n}

$(3/2)^n$

— Joshua Grochow 5/08/2015

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@ MohammadAl-Turkistany: essa pergunta me fez pensar mais profundamente em minhas crenças sobre a complexidade das IG. Re: sua outra pergunta, observe que, se não houver redução de Turing no tempo poli (ou mesmo muitos), de GI para GA, então P NP.

\neq

$\neq$

— Joshua Grochow

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Kozen no seu papel, Um problema do clique equivalente a isomorfismo gráfico , dá uma evidência de que não é em . O seguinte é do artigo: $GI$ $P$

"No entanto, é provável que encontrar um algoritmo de tempo polinomial para isomorfismo de gráfico seja tão difícil quanto encontrar um algoritmo de tempo polinomial para um problema completo de NP. Em apoio a essa reivindicação, fornecemos um problema equivalente ao isomorfismo de gráfico, uma pequena perturbação dos quais está NP-completo. "

Além disso, Babai, em seu recente artigo Graph Isomorphism em tempo quase-polinomial, argumenta contra a existência de algoritmos eficientes para o IG. Ele observa que o problema grupo isomorfismo (que é redutível a GI) é um dos principais obstáculos à colocação GI em . Problema grupo Isomorfismo (grupos são dados por sua Tableis Cayley) é solúvel em e não é conhecido por ser em . $P$ $n^{O(\log n)}$ $P$

Aqui está um trecho do artigo de Babai:

O resultado do presente artigo amplia a significância do problema de Isomorfismo de Grupo (e o problema de desafio declarado) como uma barreira para colocar GI em P. É bem possível que o status intermediário de GI (nem tempo NP completo nem polinomial) persistirá.

— Mohammad Al-Turkistany
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H

$H$

G

$G$

| G | = | H |

$|G|=|H|$

| G | = c | H |

$|G|=c|H|$

c > 1

$c > 1$ . Para parâmetros discretos, sabemos que existem problemas em P que rapidamente se tornam NP-completos (por exemplo, 2SAT vs 3SAT). Você sabe se existem exemplos de problemas em P com algum parâmetro contínuo que se tornam NP-complete em um limite acentuado? Nesse caso, esse tipo de raciocínio não seria muita evidência de que o IG não está em P, mas não consigo pensar em um exemplo desse tipo em cima da minha cabeça.

— Joshua Grochow

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7 / 8

$7/8$

P

$P$

7 / 8 + ϵ

$7/8+ϵ$

N P

$NP$

ϵ > 0

$ϵ>0$

Opa, a resposta de Klimpel já contém as evidências de isomorfismo do grupo. De qualquer forma, é útil ter a perspectiva de Babai sobre o assunto.

— Mohammad Al-Turkistany

Babai retirou a alegação de tempo de execução quase-polinomial . Aparentemente, houve um erro na análise.

— Raphael

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aqui estão outros resultados ainda não citados

Sobre a dureza do Graph Isomorphism / Torán FOCS 2000 e SIAM J. Comput. 33, 5 1093-1108.

Mostramos que o problema do isomorfismo gráfico é difícil sob reduções uniformes de AC ⁰ DLOGTIME para as classes de complexidade NL, PL (espaço logarítmico probabilístico) para cada classe modular de espaço logarítmico Mod _k L e para a classe DET dos problemas NC ¹ redutíveis a o determinante. Estes são os resultados de dureza mais fortes conhecidos para o problema de isomorfismo gráfico e implicam uma redução aleatória do espaço logarítmico do problema de correspondência perfeita para o isomorfismo gráfico. Também investigamos resultados de dureza para o problema de automorfismo gráfico.
Gráfico Isomorfismo não é AC ⁰ redutível a Grupo Isomorfismo / Chattopadhyay, Toran, Wagner

Fornecemos um novo limite superior para os problemas de Isomorfismo de Grupo e Quasigrupo quando as estruturas de entrada são fornecidas explicitamente por tabelas de multiplicação. Mostramos que esses problemas podem ser computados por circuitos não determinísticos de tamanho polinomial de fan-in ilimitado com profundidade O (log log n) e O (log ² n) bits não determinísticos, em que n é o número de elementos do grupo. Isso melhora o limite superior existente de [Wol94] para os problemas. No limite superior anterior, os circuitos delimitaram a fanin, mas a profundidade O (log ² n) e também O (log ² n) bits não determinísticos. Depois, provamos que o tipo de circuito do nosso limite superior não pode computar a função Paridade. Como a paridade é AC ⁰redutível ao isomorfismo do gráfico, isso implica que o isomorfismo do gráfico é estritamente mais difícil que o isomorfismo de grupo ou quase-grupo sob a ordem definida pelas reduções de CA ⁰ .

— vzn
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Embora esses sejam, de fato, os limites inferiores mais fortes conhecidos no IG, eles realmente não dizem nada sobre não estar em P. No primeiro caso, o DET não está tão próximo de P. No segundo caso, observe que a estrutura de os -graus em P já são bastante ricos.

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Joshua Grochow

re "limites inferiores mais fortes conhecidos em GI", ofc GI está em NP, portanto, uma prova real de que GI não está em P é equivalente a P ≠ NP! (possivelmente via NPI ≠ ∅) ...

— vzn

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Sim, mas, por exemplo, seria bom saber que GI é difícil de usar! (Claro, P-dureza tem muito pouco a ver com mostrar que algo não está em P, mas seria, pelo menos, sugerem que o GI não está na NC!)

— Joshua Grochow