Um exemplo em que o menor termo lambda normal não é o mais rápido

Deixe o de -terms ser definido da seguinte maneira:$size$$\lambda$

• $size(x) = 1$ ,
• $size(λx.t) = size(t) + 1$ ,
• $size(t s) = size(t) + size(s) + 1$ .

Permita que a complexidade de a $\lambda$ -term $t$ seja definida como o número de reduções beta paralelas de $t x$ à sua forma normal (usando um avaliador ideal no sentido de Levy).

Estou procurando um exemplo de dois termos \ lambda normais para a mesma função em que o termo maior tem menor complexidade.$\lambda$

...

Editar para maior clareza

como parece que não é óbvio o que estou perguntando, tentarei dar um exemplo sólido. Costuma-se acreditar que a definição "ingênua" / "mais simples" de uma função é lenta e não ideal. Um melhor desempenho aumenta a complexidade do termo, pois você precisa adicionar estruturas de dados, fórmulas etc. Um ótimo exemplo é fibonacci, que pode ser "ingênuo" definido como:

-- The fixed fibonacci definition
fib_rec fib n =
    if (is_zero x) 
        then 1 
        else fib (n - 1) + f (n - 2)

-- Using church numbers instead of the λ-combinator to get a normal form
fib n = n fib_rec 0 n 

Isso é geralmente considerado como a definição "mais simples" de fib, e é muito lento (exponencial). Se expandirmos as dependências de fib(as definições usuais para adição de número de igreja, pred, is_zero) e normalizarmos, obteremos este termo:

fib = (λa.(a(λbc.(c(λdef.f)(λde.d)(λde.(de))
      (λde.(b(λfg.(c(λhi.(i(hf)))(λh.g)(λh.h)))
      d(b(λfg.(c(λhi.(i(h(λjk.(k(jf))))))(λhi.g)
      (λh.h)(λh.h)))de)))))(λbc.c)a))

Melhorias como tabelas de memorização tornariam esse termo maior. No entanto, existe um termo diferente que é muito menor ...

fib = (λa.(a(λb.(b(λcde.(e(λfg.(cf(dfg)))c))))
      (λb.(b(λcd.(cd))(λcd.d)))(λbc.b)))

e, curiosamente, também é assintoticamente superior ao ingênuo, correndo O(N). De todas as definições que tenho conhecimento, essa é a mais rápida e a mais simples . O mesmo efeito acontece com a classificação. Definições "ingênuas", como classificação de bolha e inserção, geralmente são expandidas para termos enormes (mais de 20 linhas), mas existe uma definição pequena:

-- sorts a church list (represented as the fold) of church numbers
sort = λabc.a(λdefg.f(d(λhij.j(λkl.k(λmn.mhi)l)(h(λkl.l)i))
       (λhi.i(λjk.bd(jhk))(bd(h(λjk.j(λlm.m)k)c))))e)(λde.e)
       (λde.d(λfg.g)e)c

O que também passa a ser mais rápido, assintoticamente, do que qualquer outra definição que eu conheça. Essa observação me leva a acreditar que, em oposição à crença comum, o termo mais simples, com a menor complexidade de Kolmogorov, geralmente é o mais rápido. Minha pergunta é basicamente se há alguma evidência do contrário, embora eu tenha dificuldade em formalizá-la.

O teorema de aceleração de Blum é geralmente indicado na linguagem de funções parcialmente recursivas, mas até diferenças triviais na notação, funciona da mesma forma na linguagem -calculus.$\lambda$

Ele diz que, dada qualquer medida de complexidade razoável (por exemplo, o número ideal de reduções, como na pergunta) e uma função recursiva (por exemplo, ), podemos encontrar um predicado recursivo modo que:$M$$f(x,y)$$2^y$$P(x)$

Para cada algoritmo (isto é, -term na forma normal aqui) computando , existe outro algoritmo para que possui velocidade acima de : $\lambda$$g$$P$$h$$P$$f$$g$

$$f(x,M(h,x))\le M(g,x)\text{ for all large enough inputs }x,$$

onde indica a complexidade do cálculo do na entrada de acordo com a medir .$M(g,x)$$g$$x$$M$

Consequentemente:

• $P$ não possui algoritmo assintoticamente ideal na medida dada

• em particular, o algoritmo mais curto para não é assintoticamente ideal$P$

• para qualquer algoritmo para , existe um algoritmo assintoticamente mais rápido, cuja forma normal é mais longa (porque até a renomeação de variáveis, há apenas muitos termos normais de um determinado comprimento)$P$