Determinando o que pode ser alcançado por uma permutação de elementos de um grupo não comutativo

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Fixar um grupo finito . Estou interessado no seguinte problema de decisão: a entrada são alguns elementos de com uma ordem parcial sobre eles, e a questão é se existe uma permutação dos elementos que satisfazem a ordem e é tal que a composição dos elementos nessa ordem produz o elemento neutro do grupo . $G$ $G$ $e$

Formalmente, o problema do teste $G$ é o seguinte, onde o grupo é corrigido: $G$

Entrada: um conjunto finito parcialmente ordenado com uma função de etiquetagem de para . $(P, <)$ $\mu$ $P$ $G$
Saída: se existe uma extensão linear de (isto é, uma ordem total tal que para todos , implica ), de modo que, escrevendo os elementos de seguindo a ordem total como , temos $P$ $(P, <')$ $x, y \in P$ $x < y$ $x <' y$ $P$ $<'$ $x_1, \ldots, x_n$ . $\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e$

Para qualquer grupo , o problema do teste está claramente em NP. Minha pergunta é: Existe um grupo tal que o problema do teste seja NP difícil? $G$ $G$ $G$ $G$

Algumas observações sobre declarações de problemas equivalentes:

A linguagem de posets e extensões lineares pode ser substituída equivalentemente pela de DAGs e ordens topológicas. Ou seja, se você preferir, pode pensar na entrada como um DAG com vértices rotulados com elementos de grupo e na saída como perguntar se algum tipo topológico da entrada do DAG atinge . $e$
Em vez disso, pode-se considerar um problema mais difícil no qual recebemos um poset e , e perguntar se (em vez de ) pode ser realizado. De fato, o problema mais forte se reduz ao acima: podemos perguntar se pode ser realizado por , onde é mas com um elemento rotulado que é menor que todos os outros. Daí a escolha natural de na definição acima. $(P, <)$ $g \in G$ $g$ $e$ $e$ $(P', <)$ $P'$ $P$ $g^{-1}$ $e$

Agora, sobre minhas tentativas de resolver o problema:

Claro, se o grupo é comutativa, o problema -teste está claramente em ÓPTIMO como todas as extensões lineares alcançar o mesmo elemento do grupo, para que possamos basta escolher qualquer um deles por ordenação topológica e verificar se ele é ou não. Portanto, o caso interessante é não comutativo . Em geral, se tem um homomorfismo para algum grupo comutativo não trivial (por exemplo, a assinatura , para permutações), uma condição necessária, mas não suficiente, é examinar o problema através do homomorfismo e verificá-lo em PTIME na imagem comutativa . Não vejo se isso pode generalizar para um esquema de decomposição para todos os grupos finitos. $G$ $G$ $e$ $G$ $G$
Se a relação de ordem estiver vazia (ou seja, recebermos um conjunto múltiplo de elementos em e podermos usar qualquer permutação), o problema poderá ser resolvido pela programação dinâmica, onde os estados são o número de ocorrências de cada elemento em que ainda estão não usado (lembre-se de que é fixo, portanto o número de estados é polinomial na entrada). $G$ $G$ $G$
Para entradas posets de largura constante, podemos usar um algoritmo dinâmico após uma decomposição da cadeia. Portanto, se a dureza se mantiver, ela deverá usar posets de entradas arbitrariamente amplos. Observe que, para posets amplos, o número de possíveis "estados" em uma abordagem de programação dinâmica seria o número de perturbações do poset, que em geral é exponencial e não polinomial, de modo que a abordagem não funciona diretamente.
$G$
$e$

$G$ $G$ $G$ $G$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$ $A$

— a3nm
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G

$G$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

Existe alguma maneira de usar o teorema de Barrington (ou algo semelhante a ele) aqui? Não consigo descobrir como, como não sei como organizar correlações de longo prazo entre as escolhas feitas ao selecionar o pedido total, mas talvez alguém veja como fazê-lo.

— DW

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$G$ $G$

prova

$f(x) = -x$ $g_a(x) = x + a$

$G$ $f$ $g_a$

$G$ $\{f \circ g_a | a \in \mathbb{Z} \} \cup \{g_a | a \in \mathbb{Z} \}$

$G$

$a_1, a_2, ..., a_n$

$P$ $n+2$ $f$ $n$ $g_{a_i}$ $i = 1,..., n$

$g_p \circ g_q = g_{p+q}$ $f \circ g_p \circ f = g_{-p}$ $P$ $g_{\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i}$ $I$ $g_{a_i}$ $f$ $g_0$ $P$ $\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i = 0$ $\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$ $I$ $\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$ $G$

— Mikhail Rudoy
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G

$G$

G

$G$

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Com meu co-autor, acabamos de publicar uma pré - impressão que estuda esse problema de maneira mais geral para idiomas comuns. No caso de grupos finitos, afirmamos que o problema é tratável (em NL) no caso em que a ordem parcial dos elementos consiste em uma união de cadeias: veja o Teorema 6.2. Podemos supor que o problema para os DAGs gerais também esteja em NL, e há alguma esperança de estender a técnica para esse cenário, mas estamos perdendo um ingrediente para isso, relacionado a esta pergunta - para detalhes, consulte a pré-impressão, Seção 6, parágrafo "Limitações" no final, segunda limitação.

— a3nm
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