Reações lógicas para um sistema impredicativo em uma meta-teoria preditiva

As relações lógicas para linguagens impredicativas como o Sistema F parecem depender criticamente da impredicatividade da lógica ambiental. Especificamente, a interpretação para o tipo forall será definida em termos de todas as relações digitadas. Em um sistema impredicativo (como CiC / Coq), tudo bem, mas parece impossível em um sistema predicativo (como o Agda).

Como isso pode ser feito? Por exemplo, como você provaria a normalização do Sistema F no Agda? Você tem que construir seu próprio universo impredicativo?

Em geral, o que geralmente chamamos de argumento das relações lógicas não está realmente ligado à impredicatividade: a idéia principal é simplesmente interpretar termos em alguma álgebra abstrata e representar tipos como uma relação ( n- ária) R ⊆ A n .$\cal A$$n$$R \subseteq \cal A^n$

Isso funciona perfeitamente para todos os tipos de teorias de tipos, incluindo teorias de tipo dependente, veja, por exemplo, Shürmann e Sarnat: Relações Lógicas Estruturais, onde uma lógica predicativa (a de Twelf) é usada para provar uma certa propriedade (decidibilidade da igualdade) para um cálculo predicativo (simplesmente digitado calcculus) usando relações lógicas.$\lambda$

Como você pode ter suspeitado, no entanto, é não possível comprovar normalização do sistema de F em Agda (se Agda não é segredo mais forte do que o esperado, ou seja, sobre a força da teoria dos tipos Martin-Löf com um monte de universos). Isto é porque a normalização do sistema de F implica consistência de segunda ordem aritmética ( ), que é mais forte do que a teoria ML tipo com qualquer número de (predicativos) universos.$\mathrm{PA}_2$

No entanto, é instrutivo descobrir exatamente onde a prova dá errado na Agda. Realmente ocorre quando você tenta definir a interpretação das relações lógicas da quantificação impredicativa. A interpretação dos conectivos não impredicativos embora (incluindo quantificação "dependente") é kosher em uma teoria como a Agda.