Número de mincuts de um gráfico sem usar o algoritmo de Karger

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Sabemos que o algoritmo de mincut de Karger pode ser usado para provar (de maneira não construtiva) que o número máximo de possíveis mincuts que um gráfico pode ter é $n \choose 2$ .

Fiquei imaginando se de alguma forma poderíamos provar essa identidade, fornecendo uma prova bijetiva (bastante injetiva) do conjunto de mincuts para outro conjunto de cardinalidade $n \choose 2$ . Sem razões específicas, é apenas uma curiosidade. Eu tentei fazer isso sozinho, mas até agora não tive nenhum sucesso. Eu não gostaria que alguém desperdiçasse tempo com isso e, se a pergunta parecer inútil, solicitaria aos moderadores que tomem medidas em conformidade.

Best -Akash

— Akash Kumar
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Por exemplo, uma clique

n

$n$ -vertex possui

n

$n$ mincuts, separando cada vértice do resto do gráfico, portanto, o número de mincuts pode ser menor que

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$ .

— Marcus Ritt

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Esta é uma nota muito acessível sobre como provar isso de forma combinatória. cs.elte.hu/egres/qp/egresqp-09-03.ps

— Chao Xu

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O $\binom{n}{2}$ obrigado Eu acho que foi originalmente comprovada por Dinitz, Karzanov e Lomonosov em 1976, em "A estrutura para o sistema de todos os cortes mínimos de um gráfico". Talvez você possa encontrar o que está procurando neste artigo, mas não tenho certeza se está online.

— Jelani Nelson
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Obrigado, jelani .... tentou procurar o artigo on-line. Sem sorte até agora. Acho que vou tentar a biblioteca da minha faculdade. Enquanto isso, se você encontrar tempo (e está pronto para isso), tente destacar algumas das idéias principais do artigo? Seria ótimo se você pudesse. Obrigado novamente!

— Akash Kumar

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Desculpe, não sei como a prova deles funciona. : / Aparentemente, pode ter havido uma prova anterior implícita em alguns trabalhos de Robert Bixby. Provavelmente, você poderá descobrir mais do que eu sei através de alguns blogs (ou talvez alguém que saiba mais possa fornecer uma resposta melhor aqui). Estou curioso para ouvir a resposta ... Lembro-me de uma vez me perguntando sobre essa mesma pergunta quando aprendi o algoritmo de Karger.

— Jelani Nelson

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Informalmente, pode-se argumentar que, para ter o número máximo de min-recortes, todos os nós em um gráfico devem ter o mesmo grau.

Deixe um corte dividir um gráfico em dois conjuntos de nós e modo que . Seja o número de min-recortes em um gráfico indicado como . $G$ $C$ $\bar C$ $C \cap \bar C=\emptyset$ $mc(G)$

Considere um gráfico conectado com vértices em que cada vértice possui o grau dois. Esse deve ser o gráfico do ciclo e o corte mínimo é de duas arestas. É óbvio que cortar duas arestas resultará em um corte e que esse corte será um corte mínimo. Como existem pares distintos de arestas, há cortes mínimos. $n$ $n(n-1)/2$ $n(n-1)/2$

Faça um novo gráfico removendo uma aresta do gráfico de ciclo. O corte mínimo do novo gráfico é uma aresta e cortar qualquer aresta será suficiente: existem desses cortes que podem ser feitos. $n-1$

Faça um novo gráfico adicionando uma aresta ao gráfico de ciclo. Agora, dois nós têm grau três e nós têm grau dois. O grau três nós deve ambos pertencem ao ou ambos pertencem a . Note-se que no caso do gráfico de ciclo, não há nós foram restritos a aparecem juntos em ou . A implicação é que a adição de uma aresta adiciona uma restrição, o que reduz o número de cortes mínimos. $n-2$ $C$ $\bar C$ $C$ $\bar C$

A promoção de mais nós para o grau três adiciona restrições adicionais até o ponto em que há apenas um corte mínimo do grau dois.

O exposto acima mostra que o gráfico de ciclo é (pelo menos) um máximo local de . $mc$

Considere o conjunto de gráficos em que cada nó possui o grau três. A remoção de uma aresta produz um gráfico com um único min-cut de dois. Adicionar uma aresta, como acima, produz dois nós que mais aparecem no mesmo lado do corte.

Isso sugere que os gráficos nos quais cada nó é de grau são máximos locais de . Observar que o gráfico completo possui cortes de tamanho sugere que essa é uma função em declínio. $k$ $mc$ $mc=n$ $n-1$

Não pensei muito em se é possível formalizar o que foi dito acima, mas isso representa uma abordagem possível.

Além disso, acho que o artigo de Bixby que Jelani Nelson menciona no comentário de sua resposta é intitulado "O número mínimo de arestas e vértices em um gráfico com conectividade de borda nem M n-ligações" ( link )

— Richard
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