Propriedades fechadas menores que são explicitamente expressáveis ​​pelo MSO

Abaixo, o MSO denota a lógica monádica de segunda ordem de gráficos com quantificações de conjuntos de vértices e de arestas.

Seja uma pequena família fechada de gráficos. Segue-se da teoria menor do gráfico de Robertson e Seymour que é caracterizada por uma lista finita de menores proibidos. Em outras palavras, para cada gráfico , temos que G pertence a \ mathcal {F} se e somente se G exclui todos os gráficos H_i como menores.$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$$H_1,H_2,...,H_k$$G$$G$$\mathcal{F}$$G$$H_i$

Como conseqüência desse fato, temos uma fórmula do MSO $\varphi_{\mathcal{F}}$ que é verdadeira no gráfico $G$ se e somente se $G\in \mathcal{F}$ . Por exemplo, gráficos planares são caracterizados pela ausência dos gráficos $K_{3,3}$ e $K_5$ como menores e, portanto, é fácil escrever explicitamente uma fórmula MSO caracterizando gráficos planares.

O problema é que, para muitas propriedades menores e agradáveis ​​de gráficos fechados, a lista de menores proibidos é desconhecida. Portanto, embora saibamos que existe uma fórmula MSO caracterizando essa família de gráficos, talvez não saibamos o que é essa fórmula.

Por outro lado, pode ser que se consiga inventar uma fórmula explícita para uma dada propriedade sem usar o teorema menor do gráfico. Minha pergunta está relacionada a essa possibilidade.

Pergunta 1: Existe uma família menor fechada de graphs $\mathcal{F}$ , de forma que o conjunto de menores proibidos não seja conhecido, mas algumas fórmulas \ varphi do MSO $\varphi$que caracterizam esse conjunto de gráficos são conhecidas?

Pergunta 2: Sabe-se que alguma fórmula explícita do MSO $\varphi$ caracteriza algumas das seguintes propriedades?

1. Gênero 1 (o gráfico é incorporado em um toro) (veja EDITAR abaixo)
2. Gênero k para alguns k> 1 fixos $k>1$ (veja EDIT abaixo)
3. k-outerplanarity para alguns k> 1 fixos$k> 1$

Gostaria de receber qualquer referência ou opinião sobre este assunto. Por favor, sinta-se livre para considerar outras propriedades fechadas menores, a lista fornecida acima é apenas ilustrativa.

Obs: Por explícito, não quero dizer necessariamente pequeno. É suficiente fornecer um argumento explícito ou algoritmo mostrando como construir a fórmula que caracteriza a propriedade fornecida. Da mesma forma, no contexto desta pergunta, considero que uma família de menores proibidos é conhecida se alguém forneceu um algoritmo explícito para construir essa família.

EDIT: Encontrei um artigo de Adler, Kreutzer, Grohe, que constrói uma fórmula que caracteriza gráficos do gênero com base na fórmula que caracteriza gráficos do gênero k-1. Portanto, este artigo responde aos dois primeiros itens da questão 2. Por outro lado, isso não responde à questão 1 porque, de fato, existe um algoritmo que constrói para cada k, a família de menores proibidos que caracterizam gráficos do gênero k (consulte a seção 4.2). Portanto, essa família é "conhecida" no sentido da pergunta.$k$

Eu tive uma resposta aqui envolvendo gráficos de vértice, mas falha na definição de não ter um conjunto de obstruções explícito nesta pergunta: existe um algoritmo publicado para encontrar o conjunto de obstruções, embora seja muito lento para ser executado, para que não saibamos realmente qual é o conjunto de obstruções.

Então, aqui está outra família de respostas parametrizáveis ​​sem essa falha (pelo menos, tanto quanto eu saiba). Dada uma família fechada menor , e um número inteiro , o gráfico dado tem um gráfico de cobertura -ply em ? Muito desse tipo de pergunta permanece desconhecido: em particular, a conjectura de Negami, que caracterizaria os gráficos que possuem um gráfico de cobertura planar, permanece não comprovada. E é fechado pouco, porque todas as etapas que você toma para tornar menor um de podem ser copiadas na capa.k ≥ 1 G k F $F$$k\ge 1$$G$$k$$F$$G$

Para testar a existência de uma cobertura -ply de em , no MSO , execute as seguintes etapas:G F $k$$G$$F$$_2$

• $G$
• $(i,j)$$0\le i,j<k$$G$$i$$j$
• $G$
• $F$