Sobre propriedades da matriz de adjacência quando um gráfico é plano

1- Existem propriedades específicas para a matriz de adjacência quando um gráfico é plano?
2- Existe algo especial para calcular a matriz de adjacência permanente quando um gráfico é plano?

A computação determinante e permanente de gráficos planares é tão difícil quanto computá-los em gráficos gerais. Eles estão completos para GapL e #P, respectivamente. Veja este artigo de Datta, Kulkarni, Limaye, Mahajan para mais detalhes.

É mais uma propriedade da matriz de incidência do que a matriz de adjacência, mas uma propriedade importante dos gráficos planares é que eles são exatamente os gráficos cujo gráfico matróide é o dual de outro gráfico matróide. A relação com as matrizes de incidência é que o gráfico matróide descreve conjuntos de colunas independentes na matriz.

Há uma propriedade da matriz de distância (e não a matriz de adjacência) de gráficos planares restritos que podem ser de interesse, a propriedade Monge . A propriedade Monge (devido a Gaspard Monge) para gráficos planares significa essencialmente que certos caminhos mais curtos não podem se cruzar. Consulte Wikipedia: Matriz de Monge para obter uma descrição formal da propriedade Monge. Djidjev (WG 1996) ( artigo no site de Djidjev ) e Fakcharoenphol e Rao (FOCS 2001) ( Vídeo ) mostram como explorar as propriedades não cruzadas em algoritmos de caminho mais curto.

Não tenho certeza de que tipo de propriedades você procura, mas o raio espectral dos gráficos planares é uma dessas quantidades (o valor absoluto máximo de um valor próprio da matriz adjacente). Veja, por exemplo, este documento .

Embora não esteja diretamente relacionado à sua pergunta, você pode querer examinar o trabalho sobre seqüências de graus de gráficos planares. Não há caracterizações conhecidas de quando uma sequência de graus é a sequência de graus de um gráfico plano. No entanto, existem vários documentos interessantes sobre esses assuntos, incluindo:

http://www.jstor.org/pss/2100346