Classes de gráficos com ciclo hamiltoniano fácil, mas TSP NP-rígido

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O Problema do Ciclo Hamiltoniano (HC) consiste em encontrar um ciclo que atravessa todos os vértices em um determinado gráfico não direcionado. O Travelling Salesman Problem (TSP) consiste em encontrar um ciclo que atravesse todos os vértices em um determinado gráfico ponderado pelas arestas e minimize a distância total medida pela soma dos pesos das arestas no ciclo. HC é um caso especial de TSP, e ambos são conhecidos por serem NP-completos [Garey & Johnson]. (Consulte os links acima para obter mais detalhes e variantes desses problemas.)

Existem classes de gráficos estudadas nas quais o Problema do Ciclo Hamiltoniano é solucionável em tempo polinomial por meio de um algoritmo não trivial , mas o Problema do Vendedor Viajante é difícil para NP?

Não trivial é excluir classes como a classe de gráficos completos, onde é garantido que existe um ciclo hamiltoniano e pode ser encontrado com facilidade, ou geralmente classes de gráficos em que é garantido que sempre existe um HC.

— Standa Zivny
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As cópias nem sempre são hamiltonianas, possuem testes de tempo polinomial para Hamiltonicidade e são difíceis de resolver o problema do vendedor ambulante.

De um modo mais geral, o problema do ciclo hamiltoniano pode ser resolvido em tempo polinomial (mas não é tracionável em parâmetro fixo) em gráficos de largura de clique limitada ; veja, por exemplo, Fomin et al., "Clique-largura: sobre o preço da generalidade", SODA'09. Mas, novamente, como essas famílias de gráficos incluem os gráficos completos, o TSP é duro com esses gráficos.

— David Eppstein
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Estou curioso sobre sua última declaração. Isso ocorre porque o tour pelo TSP identificaria efetivamente as panelinhas, fazendo com que todos os vértices de clique fossem contíguos no tour?

— precisa saber é o seguinte

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Não, quero dizer simplesmente que o TSP é difícil, mesmo em um gráfico completo, e gráficos completos estão entre os gráficos com largura de clique limitada. Os gráficos completos em si não fornecem uma boa resposta para a pergunta porque a Hamiltonicidade é trivial para eles, mas as superclasses das panelinhas (como as cografias) podem ter testes de Hamiltonicidade não triviais, mas polinomiais.

— David Eppstein

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Que tal gráficos completos ? Como o TSP sempre pode ser reduzido a uma instância em gráficos completos (adicionando distâncias adequadas entre não arestas), ainda é difícil para o NP resolver o TSP em gráficos completos. Mas qualquer gráfico completo é hamiltoniano.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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Sim, claro, obrigado! Esqueceu-se de excluir gráficos completos e, nesse caso, todas as classes de gráficos em que HC é solucionável trivialmente.

— Standa Zivny

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@Standa Zivny: Não tenho certeza se você deseja editar a pergunta ou não, mas se você deseja excluir "todas as classes de gráficos em que o HC é trivialmente solucionável", você deve editar a pergunta. No entanto, duvido que seja possível formular a distinção entre o caso em que o HC pode ser resolvido "facilmente" e o caso em que o HC pode ser resolvido "trivialmente".

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi Ito: Um bom ponto, eu editei a pergunta.

— Standa Zivny

@StandaZivny - Nem todos os gráficos triviais para HC são difíceis para TSP, por exemplo, gráficos de caminho.

— RB

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Existem muitas classes infinitas de gráficos que são conhecidos por possuir circuitos hamiltonianos. Duas classes especialmente interessantes são os n-cubos e os gráficos de Halin. Uma maneira de pensar nos gráficos de Halin é incorporar uma árvore com pelo menos 3 vértices e que não tenha vértices de valência dois no plano e depois passar um circuito simples pelos vértices 1 valentes da árvore.

http://en.wikipedia.org/wiki/Halin_graph

Sabe-se que esses gráficos têm um HC e, na verdade, são pancíclicos (circuitos de todos os comprimentos) ou não possuem exatamente um comprimento de circuito que deve ter comprimento uniforme.

— Joseph Malkevitch
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