Esse caso particular da “solução de peso mínimo para equações lineares” ainda está completo com NP?

Nós, em nosso grupo de pesquisa, estamos trabalhando na aplicação de métodos heurísticos ao problema de iluminação inversa (ou seja, dado um conjunto de restrições sobre as condições de iluminação em uma cena, encontramos os locais onde as fontes de luz devem ser colocadas e suas intensidades). para cumprir as restrições e minimizar o custo). Gostaríamos de justificar o uso de métodos heurísticos, provando que o problema é NP-difícil e descobrimos que ele está intimamente relacionado ao "problema de solução de peso mínimo para equações lineares" (MWSLE), problema NP-completo de Garey e Johnson " Computadores e intratabilidade ", com a particularidade de que, como as emissões de fonte de luz não podem ser negativas, a solução para o sistema de equações lineares deve ser formada apenas por valores não negativos. Resumindo, o problema é o seguinte:

SOLUÇÃO POSITIVA DE PESO MÍNIMO PARA EQUAÇÕES LINEARES.

INSTANCE: conjunto finito de pares , em que é uma tupla m de números inteiros não negativos é um número inteiro não negativo e um número inteiro positivo .$X$$(\vec{x},b)$$\vec{x}$$b$$K \leq m$

PERGUNTA: Existe uma m-tupla de entradas racionais não negativas, de modo que tenha no máximo entradas diferentes de zero e que para todos ?$\vec{y}$$\vec{y}$$K$$\vec{x} \cdot \vec{y}=b$$(\vec{x},b)\in X$

Garvey e Johnson afirmam que a completude do NWS do MWSLE pode ser comprovada a partir do problema "cobertura exata por 3 conjuntos", mas não fornece mais detalhes. A cobertura exata por 3 conjuntos é uma generalização natural do problema de correspondência perfeita para os hipergrafos G = (V, E) com todas as arestas e∈E contendo 3 vértices (em vez de 2) e | V | é divisível por 3. O problema é encontrar um subconjunto das hiperedidas, de modo que cada vértice seja incidente em exatamente uma das hiperedias selecionadas.

Estamos tentando provar que o problema restrito ainda está completo como NP, mas não vemos a maneira de fazer isso. Alguma pista?

desde já, obrigado

Esteve

Aqui está um esboço de uma prova de dureza NP. A cobertura exata por 3 conjuntos é uma generalização natural do problema de correspondência perfeita para os hipergrafos com todas as arestas contendo 3 vértices (em vez de 2) eé divisível por 3. O problema é encontrar um subconjunto das hiperedidas, de modo que cada vértice seja incidente em exatamente uma das hiperedias selecionadas. Seja uma variável 0/1 para cada hiper-borda indicando se é ou não usada. Claramente o sistema de equações$G=(V,E)$$e \in E$$|V|$$x_e$$e$

$\sum_{e \in E : v \in e} x_e = 1$ para todos os$v \in V$

possui apenas coeficientes não negativos e tem uma solução com no máximo coeficientes positivos se tiver uma cobertura exata. A outra direção, ou seja, mostrar que esse sistema só tem essa solução se tiver uma cobertura exata, é menos trivial, mas ainda fácil.$|V|/3$$G$ $G$