Dimensão VC de polinômios sobre semirriscos tropicais?

Como no esta questão, me interessa a vs / problema para tropical e circuitos. Essa questão se reduz à exibição de limites superiores para a dimensão VC de polinômios sobre as semirrependentes tropicais (consulte o Teorema 2 abaixo). $\mathbf{BPP}$$\mathbf{P}$$\mathrm{poly}$ $(\max,+)$$(\min,+)$

Seja um semicondutor. Um padrão zero de uma sequência de polinômios em R [x_1, \ ldots, x_n] é um subconjunto S \ subseteq \ {1, \ ldots, m \} para o qual existe x \ em R ^ n e y \ em I de tal modo que para todos os i = 1, \ ldots, m , f_i (x) = y sse i \ em S . Ou seja, os gráficos exatamente daqueles polinômios f_i com i \ in S devem atingir o ponto (x, y) \ em R ^ {n + 1} . ("Padrão zero" porque a condição f_i (x) = y pode ser substituída por f_i (x) -y = 0 ).$R$$(f_1,\ldots,f_m)$$m$$R[x_1,\ldots,x_n]$$S\subseteq \{1,\ldots,m\}$$x\in R^n$$y\in R$$i=1,\ldots,m$$f_i(x)= y$$i\in S$$f_i$$i\in S$$(x,y)\in R^{n+1}$$f_i(x)=y$$f_i(x)-y=0$$Z(m)$ = o número máximo possível de padrões zero de uma sequência de $m$ polinômios de grau no máximo $d$ . Portanto, $0\leq Z(m)\leq 2^m$ . A dimensão Vapnik-Chervonenkis dos polinômios de grau $d$ é $VC(n,d) := \max\{m\colon Z(m)=2^m\}$ .

Observação: geralmente, a dimensão VC é definida para uma família ${\cal F}$ de conjuntos como a maior cardinalidade $|S|$de um conjunto $S$ de tal modo que $\{F\cap S\colon F\in{\cal F}\}=2^S$ . Para ajustar-se a esse quadro, podemos associar a cada par $(x,y)\in R^{n+1}$ o conjunto $F_{x,y}$ de todos os polinômios de grau f \ leq d para os quais f (x) = y vale. Então a dimensão VC da família {\ cal F} de todos esses conjuntos F_ {x, y} é exatamente VC (n, d) . $f$$\leq d$$f(x)=y$${\cal F}$$F_{x,y}$$VC(n,d)$

Um limite superior trivial em $m=VC(n,d)$ é $m\leq n\log |R|$(precisamos de pelo menos $2^m$ vetores distintos $x\in R^n$ para ter todos os $2^m$ padrões possíveis), mas é inútil em semirrecursos infinitos. Para ter bons limites superiores na dimensão VC, precisamos de bons limites superiores em $Z(m)$ . Sobre os campos , esses limites são conhecidos.

Teorema 1: Sobre qualquer campo $R$ , temos $Z(m)\leq \binom{md+n}{n}$ .

Limites superiores semelhantes foram comprovados anteriormente por Milnor , Heintz e Warren ; suas provas usam técnicas pesadas da geometria algébrica real. Por outro lado, uma prova de meia página do Teorema 1 de Ronyai, Babai e Ganapathy (a seguir mostramos) é uma aplicação simples da álgebra linear.

Ao procurar por pequenos $m$ satisfazendo $\binom{md+n}{n} < 2^m$ , obtemos que $VC(n,d)=O(n\log d)$ mantém-se sobre qualquer campo . Em vista do $\mathbf{BPP}$ vs. $\mathbf{P}$ / $\mathrm{poly}$ , importante aqui é que a dimensão é apenas logarítmica no grau $d$ . Isso é importante porque circuitos de tamanho polinomial podem computar polinômios de grau exponencial e porque um resultado do aprendizado de Haussler no PAC (Corolário 2 na página 114 deste artigo ) produz o seguinte (onde assumimos que os circuitos determinísticos podem usar o voto majoritário) para produzir seus valores).

Teorema 2: $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$ é válido para circuitos em qualquer R semiring $R$, em que $VC(n,d)$ é polinomial apenas em $n$ e $\log d$ .

Veja aqui como o resultado de Haussler implica o Teorema 2.

Em particular, pelo Teorema 1, permanece sobre qualquer campo. (Interessante é aqui apenas o caso de infinitos campos: para os finitos, argumentos muito mais simples trabalhar: Chernoff ligado, em seguida, faz o trabalho.) Mas o que dizer (infinitas) semirings que são não campos, ou até mesmo não anéis? Motivado pela programação dinâmica, estou interessado principalmente em semirrugas tropicais e , mas outras semirrugas "fora do campo" (infinitas) também são interessantes. Observe que, ao longo do semiring , um polinômio com e$\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$$(\max,+)$$(\min,+)$$(\max,+)$$f(x)=\sum_{a\in A} c_a\prod_{i=1}^n x_i^{a_i}$$A\subseteq\mathbb{N}$$c_a\in \mathbb{R}$ , se transforma no problema de maximização ; o grau de é (como habitual), o máximo de sobre toda .$f(x)=\max_{a\in A}\ \{c_a+a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\}$$f$$a_1+\cdots+a_n$$a\in A$

Pergunta: A dimensão VC de polinômios de grau sobre polinômio de semirrópteros tropicais está em ? $\leq d$$n\log d$

Admito que essa pode ser uma pergunta bastante difícil de se esperar uma resposta rápida: a álgebra tropical é bastante "louca". Mas talvez alguém tenha algumas idéias sobre por que (se houver) polinômios tropicais poderiam produzir mais padrões zero do que polinômios reais? Ou por que eles "não deveriam"? Ou algumas referências relacionadas.

Ou, talvez, a prova de Babai, Ronyai e Ganapathy (abaixo) possa ser de alguma forma "distorcida" para trabalhar durante semirrendamentos tropicais? Ou sobre quaisquer outros semirriscos infinitos (que não são campos)?

Prova do teorema 1: Suponha que uma sequência tenha padrões zero diferentes e permita que sejam testemunhas desses padrões zero. Seja um padrão zero testemunhado pelo vetor e considere os polinômios . Afirmamos que esses polinômios são linearmente independentes sobre o nosso campo. Essa afirmação completa a prova do teorema, pois cada possui grau no máximo , e a dimensão do espaço de polinômios de grau no máximo é$(f_1,\ldots,f_m)$$p$$v_1,\ldots,v_p\in R^n$$S_i=\{k\colon f_k(v_i)\neq 0\}$$i$$v_i$$g_i:=\prod_{k\in S_i}f_k$$g_i$$D:=md$$D$$\binom{n+D}{D}$. Para provar a afirmação, basta observar que se e somente se . Suponha, ao contrário, que uma relação linear não trivial . Seja um subscrito tal queé mínimo entre os com . Substitua na relação. Enquanto , temos para todos os , uma contradição. $g_i(v_j)\neq 0$$S_i\subseteq S_j$$\lambda_1 g_i(x)+\cdots+\lambda_p g_p(x)=0$$j$$|S_j|$$S_i$$\lambda_i\neq 0$$v_j$$\lambda_jg_j(v_j)\neq 0$$\lambda_ig_i(v_j)=0$$i\neq j$$\Box$

Percebi que a resposta para minha pergunta é: sim: a dimensão VC de polinômios de grau em variáveis ​​em qualquer sem tropical tropical é no máximo constante . Isso pode ser mostrado usando o Teorema 1 acima. Veja aqui para detalhes. Portanto, BPP P / poly também se aplica a circuitos tropicais e, portanto, também a algoritmos de programação dinâmica "puros". $\leq d$$n$$n^2\log(n+d)$ $\subseteq$

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NB (adicionado 2019/06/25) Nesse meio tempo, eu já resolveu o problema completamente no presente trabalho . Em tal generalidade, que eu nem sonhei no começo. O caso Tropical é apenas um caso muito, muito especial. E ainda mais curiosamente: por apenas uma combinação apropriada de resultados já conhecidos (em qualquer aspecto) de outros autores.

O que resta mais a fazer nessa direção (BPP vs. P / poly)? Além da diminuição do tamanho dos circuitos determinísticos resultantes (uma questão interessante por si só).