Existem classes de gráficos interessantes em que a largura da árvore é difícil (fácil) de calcular?

Treewith é um parâmetro importante do gráfico que indica o quão perto um gráfico está de ser uma árvore (embora não em um sentido topológico estrito).

É sabido que calcular a largura da árvore é difícil para NP.

Existem classes naturais de gráficos em que a largura da árvore é difícil de calcular?

Similarmente:

Existem classes de gráficos interessantes em que o cálculo da largura da árvore é fácil? Em caso afirmativo, existe alguma propriedade / teste estrutural que possa ser explorado? Ou seja, Gráfico tem propriedade calcular o treewidth de . $G$ $X$ $\Rightarrow$ $G \in \mathbf{P}$

— PsySp
fonte

Para classes de gráfico em que a largura da árvore é limitada ou ilimitada, você pode ver graphclasses.org; pesquisar na treewidth parâmetro e você vai obter a lista de moças gráfico onde treewidth é limitada (ou ilimitada): graphclasses.org/classes/par_10.html

— Cyriac Antony

Você também pode usar sua aplicação java para ver as classes onde treewidth decomposição é difícil (ou fácil)

— Cyriac Antony

A largura de árvore é NP-difícil de calcular em gráficos co-bipartidos, na verdade a prova de dureza NP original da largura de árvore de Arnborg et al. mostra isso. Além disso, Bodlaender e Thilikos mostraram que é NP-difícil calcular a largura de árvore dos gráficos de grau máximo . Finalmente, para qualquer gráfico de largura da árvore pelo menos , subdividir uma aresta (ou seja, substituir a aresta por um vértice de grau adjacente aos dois pontos finais da aresta) não altera a largura da árvore do gráfico. Portanto, é NP-difícil calcular a largura da árvore de gráficos bipartidos 2-degenerados de perímetro arbitrariamente grande. $9$ $2$ $2$

O problema é o tempo polinomial solucionável em gráficos de acordes, gráficos de permutação e mais geralmente em todas as classes de gráficos com um número polinomial de possíveis cliques máximos, veja este artigo de Bouchitte e Todinca. Observe que no mesmo trabalho é mostrado que o conjunto de possíveis cliques máximos de um gráfico pode ser calculado a partir de no tempo . Além disso, o algoritmo de Bodlaender determina se $\Pi(G)$ $G$ $G$ $O(|\Pi(G)|^2 \cdot n^{O(1)})$ $G$ tem uma largura de árvore no máximo no tempo . Por isso, é solúvel treewidth tempo polinomial para gráficos de treewidth . $k$ $2^{O(k^3)}n$ $O((\log n)^{1/3})$

É um problema pendente em aberto se o cálculo da largura de árvore dos gráficos planares é solucionável em tempo polinomial ou em NP completo. Vale a pena notar que o parâmetro do gráfico relacionado branchwidth (que está sempre a um fator a 1,5 da largura da árvore) é um tempo polinomial computável em gráficos planares.

— daniello
fonte

Obrigado. Então a única classe conhecida por ser difícil são os gráficos co-bipartidos? A propriedade de potenciais panelinhas máximas não me parece surpreendente. Esta propriedade P-time é testável?

— PsySp 20/03/2019

3^{n / 3}

$3^{n/3}$

Bodlaender e Thilikos [DAM 79 (1997) 45-61] mostrou que treewidth computação é NP-duro por gráficos de máximo grau 9.

— Yota Otachi

Além da dureza dos gráficos co-bipartidos, deve-se mencionar também que a largura de árvore da computação também é difícil para os gráficos bipartidos, observados pela primeira vez, eu acho, por Ton Kloks em sua tese de doutorado.

— vb le

Você pode mencionar que (quase) nada se sabe sobre sua complexidade de aproximação e limites inferiores parametrizados. Em princípio, pode haver PTAS ou algoritmo de tempo subexponencial, embora ambos sejam muito improváveis. A única dureza de aproximação é aquela baseada na pequena expansão de conjunto (SSE). doi: 10.1613 / jair.4030.

— Yixin Cao 24/03